Constante de Gauss
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En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux[1],[2],[3] :
- [N 1].
L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (-) car il a découvert le [4],[5],[6],[N 2] à Brunswick[N 2] que :
- .
Relation avec d'autres constantes
La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :
soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :
et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.
Constantes de la lemniscate
La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.
- La première est
- où est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1
- La seconde est
- .
Autres formules
La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :
- .
Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :
- .
La constante est aussi donnée par un produit infini :
- .
La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][N 3].
Notes et références
Notes
- ↑ Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
- ↑ a et b Sont retenus, la date et le lieu que Gauss a notés (n. 98) dans son Journal de mathématiques (-)[7]. Borwein et Bailey ont publié un fac-similé de la note manuscrite de Gauss[8]. La note, en latin, est la suivante : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonstrata prorsus novus campus in analysis certo aperietur. » Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
- ↑ Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.
Références
- ↑ Gourdon 2020, p. 190.
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
- ↑ (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, , 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
- ↑ Barnett 2020, p. 47.
- ↑ Cox 1984, p. 281.
- ↑ Khelif 2010.
- ↑ Eymard et Lafond 1956, n. 98, p. 40-41.
- ↑ Borwein et Bailey 2008, fig. 1.2, p. 15.
Voir aussi
Bibliographie
- [Barnett 2020] (en) Janet Heine Barnett, « A Gaussian tale for the classroom », dans Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.), Research in history and philosophy of mathematics : the CSHPM volume, Cham, Birkhäuser, coll. « Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques » (no 5), , 1re éd., XIII-172 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-3-030-31196-4, EAN 9783030311964, OCLC 1240212492, DOI 10.1007/978-3-030-31298-5, SUDOC 253878772, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9, p. 139-155.
- [Borwein et Bailey 2008] (en) Jonathan M. Borwein et David H. Bailey, Mathematics by experiment : plausible reasoning in the 21st century, Wellesley, A. K. Peters, hors coll., , 2e éd. (1re éd. ), XI-377-[4], 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-1-56881-442-1, EAN 9781568814421, OCLC 494547277, DOI 10.1201/b10704, SUDOC 130966479, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Cox 1984] (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, 2e série, t. XXX, , p. 275-330 (OCLC 937363834, DOI 10.5169/seals-53831, lire en ligne
[PDF]).
- [Eymard et Lafond 1956] Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, « Le Journal mathématique de Gauss : traduction française annotée », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. IX, no 1, , p. 21-51 (OCLC 4649261821, DOI 10.3406/rhs.1956.4346, JSTOR 23904695, lire en ligne
[PDF]).
- [Gourdon 2020] Xavier Gourdon, Analyse, Paris, Ellipses, coll. « Les maths en tête » (no 1), , 3e éd. (1re éd. ), 452 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-03856-1, EAN 9782340038561, OCLC 1160201780, BNF 46557782, SUDOC 24513283X, présentation en ligne, lire en ligne).
Articles connexes
Liens externes
- [Khelif 2010] Hamza Khelif, « Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli », tribune
, sur Images des mathématiques, CNRS, .
- (en) « Gauss's constant » [« constante de Gauss »]
, sur WolframAlpha, Wolfram Research.
- (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Constant », sur MathWorld.
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