Corps quasi-fini

En mathématiques, un corps quasi-fini[1] est une généralisation d'un corps fini. La théorie des corps de classes locaux traite généralement de corps à valuation complets dont le corps résiduel est fini (c'est-à-dire un corps local non-archimédien), mais la théorie s'applique aussi bien lorsque le corps résiduel est seulement supposé quasi-finis[2].

Définition formelle

Un corps quasi-fini est un corps parfait K muni d'un isomorphisme de groupes topologiques.

ϕ : Z ^ → Gal ⁡ ( K s / K ) , {\displaystyle \phi :{\hat {\mathbf {Z} }}\to \operatorname {Gal} (K_{s}/K),}

où Ks est une clôture algébrique de K (nécessairement séparable parce que K est parfait). L'extension de corps Ks/K est infinie, et le groupe de Galois se voit par conséquent attribué la topologie de Krull. Le groupe Z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}} est le groupe profini des nombres entiers à l'égard de ses sous-groupes d'index fini.

Cette définition équivaut à dire que K a une unique (nécessairement cyclique) extension Kn de degré n pour chaque entier n ≥ 1, et que l'union de ces extensions est égale à Ks[3]. En outre, dans le cadre de la structure de corps quasi-fini, il y a un générateur de Fn pour chaque Gal(Kn/K), et les générateurs doivent être cohérent, dans le sens où si n divise m, la restriction de Fm à Kn est égale à Fn.

Exemples

L'exemple le plus simple, est le corps fini K = GF(q). Il a une unique extension cyclique de degré n, à savoir Kn = GF(qn). L'union de Kn est la clôture algébrique de Ks. Nous prenons Fn comme étant l'élément de Frobenius; c'est-à-dire Fn(x) = xq.

Un autre exemple est K = C((T)), l'anneau des séries formelles de Laurent en T sur le corps C des nombres complexes. Celles-ci sont simplement des séries formelles dans lesquelles nous permettons également un nombre fini de termes de degrés négatifs. Alors K a une unique extension cyclique

K n = C ( ( T 1 / n ) ) {\displaystyle K_{n}=\mathbf {C} ((T^{1/n}))}

de degré n pour chaque n ≥ 1, dont l'union est une clôture algébrique de K appelée le champ des séries de Puiseux, et dont un générateur de Gal(Kn/K) est donnée par

F n ( T 1 / n ) = e 2 π i / n T 1 / n . {\displaystyle F_{n}(T^{1/n})=e^{2\pi i/n}T^{1/n}.}

Cette construction fonctionne si C est remplacé par un corps fini algébriquement clos C de caractéristique zéro[4].

Références

  1. ↑ (Artin et Tate 2009, §XI.3) dit que le corps satisfait l'axiome de Moriya.
  2. ↑ Comme l'a montré Mikao Moriya ((Serre 1979, chapter XIII, p. 188))
  3. ↑ (Serre 1979, §XIII.2 exercise 1, p. 192)
  4. ↑ (Serre 1979, §XIII.2, p. 191)
  • Emil Artin et John Tate, Class field theory, American Mathematical Society, (1re éd. 1967), 192 p. (ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155, zbMATH 1179.11040)
  • (en) Jean-Pierre Serre (trad. Marvin Jay Greenberg), Local Fields, vol. 67, New York/Heildeberg/Berlin, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », , 241 p. (ISBN 0-387-90424-7, MR 554237, zbMATH 0423.12016)
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