Critère d'irréductibilité de Cohn

En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.

Énoncé

Si un nombre premier p s'écrit en base dix sous la forme

p = a m 10 m + a m − 1 10 m − 1 + ⋯ + a 1 10 + a 0  avec  0 ≤ a k ≤ 9 {\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq 9}

alors le polynôme

a m X m + a m − 1 X m − 1 + … + a 1 X + a 0 {\displaystyle a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}}

est irréductible dans Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} .

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier b ≥ 2, un polynôme de la forme P ( X ) = a m X m + a m − 1 X m − 1 + … + a 1 X + a 0  avec  0 ≤ a k ≤ b − 1 {\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq b-1} est irréductible dans Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} dès que P(b) est premier.

Notes historiques

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn[1] – un étudiant d'Issai Schur[2] – par Pólya et Szegő[3] et sa généralisation à une base quelconque b ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko[4].

En 2002, M. Ram Murty a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème[5], démontrant également la variante suivante : Soit P ( X ) = a m X m + a m − 1 X m − 1 + … + a 1 X + a 0 ∈ Z m [ X ] {\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} _{m}[X]} et H = max 0 ≤ i < m | a i / a m | {\displaystyle H=\max _{0\leq i<m}|a_{i}/a_{m}|} . S'il existe un entier b ≥ H + 2 tel que P(b) est premier, alors P est irréductible sur ℤ.

Démonstration

Raisonnons par contraposition, en supposant P réductible et en montrant qu'alors, pour tout entier b ≥ H + 2, P(b) est composé.

Soient donc Q , R ∈ Z [ X ] ∖ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle Q,R\in \mathbb {Z} [X]\setminus \{-1,0,1\}} tels que P = QR.

  • Si Q n'est pas constant alors Q = c ∏ i ( X − α i ) {\displaystyle Q=c\prod _{i}(X-\alpha _{i})} avec, puisque chaque α i {\displaystyle \alpha _{i}} est une racine de P, | α i | < H + 1 {\displaystyle |\alpha _{i}|<H+1} (cf. Racine d'un polynôme réel ou complexe#Une première estimation) donc | Q ( b ) | ≥ ∏ i ( b − | α i | ) > ∏ i ( H + 2 − H − 1 ) = 1 {\displaystyle |Q(b)|\geq \prod _{i}(b-|\alpha _{i}|)>\prod _{i}(H+2-H-1)=1} .
  • Si Q est constant alors Q ∈ Z ∖ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle Q\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}} et l'on a évidemment encore |Q(b)| > 1.

Même raisonnement pour R, donc P(b) = Q(b)R(b) avec |Q(b)|, |R(b)| > 1.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohn's irreducibility criterion » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Ne pas confondre avec Paul Cohn.
  2. ↑ (en) « Arthur Cohn », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  3. ↑ (de) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. II, Springer, , 4e éd. (1re éd. 1925) (lire en ligne), p. 351 – traduction : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer, (lire en ligne), p. 330.
  4. ↑ (en) John Brillhart, Michael Filaseta et Andrew Odlyzko, « On an irreducibility theorem of A. Cohn », CJM, vol. 33, no 5,‎ , p. 1055-1059 (lire en ligne).
  5. ↑ (en) M. Ram Murty, « Prime numbers and irreducible polynomials », Amer. Math. Month., vol. 109, no 5,‎ , p. 452-458 (lire en ligne [dvi]).

Articles connexes

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