Ensembles disjoints

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, ${\displaystyle \{1;2;3\}}$ et ${\displaystyle \{4;5;6\}}$ sont deux ensembles disjoints.

Explication et généralisation

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$.

(Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient I un ensemble d'indices, et pour chaque ${\displaystyle i\in I}$, un ensemble ${\displaystyle A_{i}}$. Alors les ensembles de la famille ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ sont mutuellement disjoints si

${\displaystyle \forall (i,j)\in I^{2}\qquad (\ i\neq j\Rightarrow \ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing )}$.

Par exemple, les singletons de la famille ${\displaystyle (\{1\},\{2\},\{3\})}$ sont mutuellement disjoints.

Si ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ est une famille d'ensembles mutuellement disjoints et s'il y a au moins deux indices dans I, alors l'intersection de la famille est vide :

${\displaystyle \cap _{i\in I}A_{i}=\varnothing }$.

La réciproque est fausse : l'intersection de la famille ${\displaystyle (\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\})}$ est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille de parties non vides de X, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à X.

Voir aussi

• Ensembles presque disjoints (en)
• Connectivité
• Règle de la somme
• Union disjointe
• Union-Find
• Famille intersectante

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Disjoint sets » (voir la liste des auteurs).

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