Espace semi-métrique

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En mathématiques, la notion d'espace semi-métrique est une généralisation de celle d'espace métrique dans laquelle on n'impose pas l'inégalité triangulaire. Dans les traductions de textes russes, le terme « semi-métrique » est parfois remplacé par « symétrique ».

En analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique, parce que toute semi-norme induit une pseudo-distance (i.e. un écart à valeurs finies).

Une semi-distance sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une fonction

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=0\iff x=y}$ (séparation) ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)}$ (symétrie).

Un espace semi-métrique ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ est un ensemble ${\displaystyle E}$ muni d'une semi-distance ${\displaystyle \mathrm {d} }$.

Une semi-distance ${\displaystyle \mathrm {d} }$, sur un ensemble ${\displaystyle E}$, qui vérifie l'inégalité triangulaire est une distance, auquel cas ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ est un espace métrique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semimetric space » (voir la liste des auteurs).
• (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
• (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, présentation en ligne)

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