En géométrie algébrique, on peut définir la notion d'espace tangent (de Zariski) sans faire (explicitement) de calcul différentiel. C'est en quelque sorte une première approximation de la structure locale du schéma.
Définition pour un anneau local
Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit
le corps résiduel de A. Pour a ∈ A et m, m' ∈ M, on remarque que
![{\displaystyle (a+m')m=am+m'm\equiv am\mod M^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907588c39affc2cb1d3671dd78b0bca81b59f1de)
avec M2 le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules
est un
-espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de
. Notons-le
.
On a l'isomorphisme suivant :
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi :{\frac {M}{M^{2}}}&\to &M\otimes _{A}k_{A}\\{\overline {m}}&\mapsto &m\otimes _{A}1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d482ccae4befda3eda8b1269917b002ca3e713b0)
avec
le produit tensoriel de A-modules. Ces espaces vectoriels sont de dimension finie si A est noethérien car M est alors un module de type fini.
Si
est un homomorphisme d'anneaux locaux noethériens, on a canoniquement une application
-linéaire
.
On sait que la dimension de l'espace tangent d'un anneau local noethérien
est toujours minorée par la dimension de Krull de
. Par définition, l'anneau local
est dit régulier s'il y a égalité.
Le cas des schémas
Soit
un point d'un schéma
. Soient
l'idéal maximal de l'anneau local
de
en
. Rappelons que le corps
est le corps résiduel en
. L'espace tangent de Zariski de
en
est par définition l'espace tangent de l'anneau local
. On le note
.
La construction des espaces tangents est fonctorielle pour les schémas noethériens. Si
est un morphisme de schémas noethériens, alors
induit canoniquement une application linéaire
, où
. Cette application est l'application tangente de
en
, que l'on note parfois
. Lorsque
(par exemple si
sont des variétés algébriques sur un corps et si
est un point rationnel de
), c'est une application
.
Exemples
- L'espace tangent de l'espace affine
sur un corps
en un point rationnel est de dimension
. - Supposons k algébriquement clos pour simplifier. Soit
. Alors l'espace tangent de
au point
est un k-espace vectoriel de dimension 2. Il est de dimension 1 aux autres points fermés, de dimension 0 au point générique.
Pour tout schéma localement noethérien
et pour tout point
de
, on a
La dimension de gauche étant la dimension de Krull de l'anneau local
, celle de droite étant la dimension vectorielle. L'égalité définit les points réguliers de
.
Fibré tangent
Si
est un schéma lisse de dimension
sur un corps
, de sorte que le faisceau des différentielles relatives
sur
soit un fibré vectoriel de rang
, alors le faisceau dual
est aussi un fibré vectoriel de rang
. Pour tout point rationnel
, on a un isomorphisme canonique
![{\displaystyle \Omega _{X/k}^{\vee }\otimes _{O_{X,x}}k(x)\to T_{X,x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aecfaf3b13949a6952fdb37431356deb0215495)
Donc intuitivement les espaces tangents forment un fibré vectoriel au-dessus de
.
Espace tangent d'un sous-schéma fermé, critère jacobien
Si
est une immersion fermée, alors pour tout point
de
, on a
et l'application tangente
est injective.
Exemple On prend pour
l'espace affine de dimension
sur un corps
et
la sous-variété fermée définie par des polynômes
à
variables. Soit
un point rationnel de
. Pour tout polynôme
, notons
la forme linéaire sur
C'est la différentielle de
en
. Après avoir identifié l'espace tangent de
en
avec
, on a un isomorphisme de
avec l'intersection des sous-espaces vectoriels :
![{\displaystyle \{t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\mid D_{x}F_{j}(t)=0\},j=1,2,\dots ,m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533faec115374d454b0d001eb75d36601c7dc302)
Autrement dit,
.
Soit
la matrice
dont les lignes représentent les formes linéaires
. Alors on a
(c'est le théorème du rang de l'application linéaire
).
Théorème — (Critère Jacobien) La variété algébrique
est régulière en un point rationnel
si et seulement si le rang de la matrice jacobienne
en
est égal à
.
Exemple Si
est une hypersurface définie par un polynôme non nul
. Alors
est régulière en un point rationnel
si et seulement si la matrice jacobienne en
est de rang 1. Ce qui revient à dire qu'une des dérivées partielles de
en
est non nulle. Par conséquent,
est une variété algébrique lisse si et seulement si
et ses dérivées partielles engendrent l'idéal unité dans
.
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