Filtration de Moy-Prasad

Pour les articles homonymes, voir Moy (homonymie) et Prasad (homonymie).

En mathématiques, la filtration de Moy-Prasad est un ensemble de filtrations d'un groupe réductif p -adique donné et de son algèbre de Lie, définie par Allen Moy et Gopal Prasad. La famille est paramétrée par l'immeuble de Bruhat-Tits ; chaque point de l'immeuble donne une filtration différente. Autrement dit, puisque le terme initial de chaque filtration en un point du bâtiment est le sous-groupe parahorique en ce point, la filtration de Moy-Prasad peut être considérée comme une filtration d'un sous-groupe parahorique d'un groupe réductif.

La principale application de la filtration de Moy-Prasad est la théorie de la représentation des groupes p-adiques. On définit grâce à la filtration la profondeur, un nombre rationnel, d'une représentation. Les représentations de la profondeur r peuvent être comprises en étudiant les r-ième sous-groupes de Moy-Prasad. Ces informations conduisent ensuite à une meilleure compréhension de la structure globale des représentations, et par conséquent de la théorie des nombres via le programme de Langlands.

Pour une exposition détaillée des filtrations de Moy-Prasad et des points semi-stables associés, voir le chapitre 13 du livre Bruhat-Tits theory: a new approach de Tasho Kaletha et Gopal Prasad.

Dans leurs travaux fondateurs sur la théorie des immeubles, François Bruhat et Jacques Tits ont défini des sous-groupes associés aux fonctions concaves du système de racines^[1]. Ces sous-groupes sont un cas particulier des sous-groupes de Moy-Prasad, définis lorsque le groupe est scindé. Moy et Prasad^[2] ont alors généralisé la construction de Bruhat-Tits aux groupes quasi-scindés, en particulier aux tores, et d'utiliser ces sous-groupes pour étudier la théorie de la représentation du groupe ambiant.

L'algèbre de Lie de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ est ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les idéaux non nuls de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ :

Un autre exemple de groupe réductif p-adique est le groupe général linéaire ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ ; cet exemple généralise le précédent car ${\displaystyle {\text{GL}}_{1}(\mathbb {Q} _{p})=\mathbb {Q} _{p}^{\times }}$. Comme ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est non-abélien (pour ${\displaystyle n\geq 2}$ ), il comporte une infinité de sous-groupes parahoriques. Un sous-groupe parahorique particulier est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$. Les sous-groupes de Moy-Prasad de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ sont les sous-groupes d'éléments congrus à l'identité modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$. Plus précisément, lorsque ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}=1+(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{u\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }:u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Les exemples suivants utilisent les nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ et les entiers p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Un lecteur peu familier avec ces anneaux pourra plutôt remplacer ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ par les nombres rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ par les entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sans perdre l'idée principale.$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{p^{r}a:a\in \mathbb {Z} _{p}\}.}$$Plus généralement, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on se ramène au cas entier :$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{\lfloor r\rfloor },\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:=(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Cet exemple illustre le phénomène général selon lequel, bien que la filtration de Moy-Prasad soit indexée par les réels positifs, la filtration s'altère uniquement sur un sous-ensemble discret et périodique (ci dessus, les entiers naturels).

où ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ est l'algèbre des matrices <i id="mwXQ">n × n</i> à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. L'algèbre de Lie de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les espaces de matrices égales à la matrice nulle modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$ ; quand ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=1+(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Dans cet exemple, la filtration de Moy-Prasad sont communément notés ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})_{x,r}}$ au lieu de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}}$, où ${\displaystyle x}$ est un point de la construction de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ dont le sous-groupe parahorique correspondant est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}).}$$${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 0{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Enfin, comme précédemment, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on pose :$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor },\qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Soit ${\displaystyle G}$ un ${\displaystyle k}$-groupe réductif, ${\displaystyle r\geq 0}$, et ${\displaystyle x}$ un point de l'immeuble de Bruhat-Tits de ${\displaystyle G}$. Le ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ${\displaystyle G(k)}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$. De même, la ${\displaystyle r}$-ème sous-algèbre de Moy-Prasad Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ ; c'est un ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-module libre, et même un réseau. (En fait, l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ peut également être définie lorsque ${\displaystyle r<0}$, bien que le groupe ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ ne puisse pas l'être.)

Bien que la filtration de Moy-Prasad soit couramment utilisée pour étudier la théorie de la représentation des groupes p-adiques, on peut construire des sous-groupes de Moy-Prasad sur n'importe quel corps henselien de valuation discrète ${\displaystyle k}$, et pas seulement sur un corps local non archimédien. Dans cette section et les suivantes, nous supposerons donc que le corps de base ${\displaystyle k}$ est henselien de valuation discrète, et ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ son anneau d'entiers. Néanmoins, le lecteur est invité à supposer, par souci de simplicité, que ${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$, de sorte que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} _{p}}$.

Une propriété fondamentale de la filtration de Moy-Prasad est qu'elle est décroissante : si ${\displaystyle r\leq s}$ alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}\supseteq {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r}\supseteq G(k)_{x,s}}$. On définit :

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Par la propriété du sous-groupe du commutateur, le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, appelé isomorphisme Moy – Prasad . L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme Moy – Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ être apprivoisé, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se divise sur une extension docilement ramifiée du champ de base ${\displaystyle k}$. Si cette hypothèse est violée alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes. ^[3]$${\displaystyle G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s},\qquad {\mathfrak {g}}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.}$$Cette convention n'est qu'un raccourci de notation car pour tout ${\displaystyle r}$, il existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r+}={\mathfrak {g}}_{x,r+\varepsilon }}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }}$.

La filtration de Moy-Prasad satisfait aux propriétés supplémentaires suivantes^[4].

• Un saut dans la filtration de Moy-Prasad est définit par un indice ${\displaystyle r}$ tel que ${\displaystyle G(k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}}$. L'ensemble des sauts est discret et dénombrable.
• Si ${\displaystyle r\leq s}$, alors ${\displaystyle G(k)_{x,s}}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ est un idéal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$. On note parfois le groupe quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}}$ et l'algèbre quotient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}:={\mathfrak {g}}_{x,r}/{\mathfrak {g}}_{x,s}}$.
• Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe réductif sur le corps résiduel de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$, à savoir le quotient réductif maximal de la fibre spécial du ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-groupe donné par le parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$. En particulier, si ${\displaystyle k}$ est un corps local non-archimédien (e.g. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) alors ce quotient est un groupe fini de type Lie.
• ${\displaystyle [G(k)_{x,r},G(k)_{x,s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}}$ et ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{x,r},{\mathfrak {g}}_{x,s}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x,r+s}}$; ici le premier crochet est le commutateur et le second le crochet de Lie.
• Pour tout automorphisme ${\displaystyle \theta }$ de ${\displaystyle G}$ on a ${\displaystyle \theta (G(k)_{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}}$ et ${\displaystyle {\text{d}}\theta ({\mathfrak {g}}_{x,r})={\mathfrak {g}}_{\theta (x),r}}$, où ${\displaystyle {\text{d}}\theta }$ est la dérivée de ${\displaystyle \theta }$.
• Pour tout uniformisante ${\displaystyle \varpi }$ de ${\displaystyle k}$ on a ${\displaystyle \varpi {\mathfrak {g}}_{x,r}={\mathfrak {g}}_{x,r+1}}$.

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, dit isomorphisme Moy-Prasad. L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme de Moy-Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ soit modéré, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se scinde sur une extension modérément ramifiée du corps de base ${\displaystyle k}$. Sans cette hypothèse, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes^[3].

La filtration de Moy-Prasad peut être utilisée pour définir un invariant numérique important d'une représentation lisse ${\displaystyle (\pi ,V)}$ de ${\displaystyle G(k)}$, la profondeur de la représentation : c'est le plus petit nombre ${\displaystyle r}$ tel qu'il existe ${\displaystyle x}$ dans l'immeuble de ${\displaystyle G}$, et un vecteur non nul de ${\displaystyle V}$ qui est fixé par ${\displaystyle G(k)_{x,r+}}$.

À la suite de l'article définissant leur filtration, Moy et Prasad ont prouvé un théorème de structure pour les représentations supercuspidales de profondeur nulle^[5]. Soit ${\displaystyle x}$ un point dans une face minimale de la construction de ${\displaystyle G}$ ; c'est-à-dire que le sous-groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est parahorique maximal. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe fini de type de Lie. Soit ${\displaystyle \tau }$ être l'induction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ d'une représentation cuspidale au sens de Harish-Chandra (voir aussi Théorie de Deligne-Lusztig) de ce quotient. Le groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est un sous-groupe normal d'indice fini du stabilisateur ${\displaystyle G(k)_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G(k)}$. Soit ${\displaystyle \rho }$ être une représentation irréductible de ${\displaystyle G(k)_{x}}$ dont la restriction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ contient ${\displaystyle \tau }$ comme sous-représentation. Alors l’induction compacte de ${\displaystyle \rho }$ à ${\displaystyle G(k)}$ est une représentation supercuspidale de profondeur nulle. De plus, chaque représentation supercuspidale de profondeur nulle est isomorphe à l’une de cette forme.

Dans le cas modéré, la correspondance de Langlands locale devrait préserver la profondeur, où la profondeur d'un paramètre L est définie en utilisant la filtration (en indice supérieur) sur le groupe de Weil^[6].

Même si nous avons défini ${\displaystyle x}$ se comme étant dans l'immeuble étendu de ${\displaystyle G}$, il s'avère que le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ ne dépend que de l'image de ${\displaystyle x}$ dans l'immeuble réduit.

La description suivante de la construction fait suite à l'article de Yu sur les modèles lisses^[7].

Puisque les tores algébriques constituent une classe particulière de groupes réductifs, la théorie de la filtration de Moy-Prasad s'applique. Il s’avère que la construction des sous-groupes de Moy-Prasad pour un groupe réductif général repose sur la construction de tori. Nous commençons donc par discuter du cas où ${\displaystyle G=T}$ est un tore. Puisque l'immeuble réduit d’un tore est un point, il n’y a qu’un seul choix pour ${\displaystyle x}$, et donc nous écrirons ${\displaystyle T(k)_{r}:=T(k)_{x,r}}$.

D'abord, considérons le cas particulier où ${\displaystyle T}$ est la restriction à la Weil de ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{m}}}$ le long d'une extension finie séparable ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle k}$, de sorte que ${\displaystyle T(k)=\ell ^{\times }}$. Dans ce cas, nous définissons ${\displaystyle T(k)_{r}}$ comme l'ensemble des ${\displaystyle a\in \ell ^{\times }}$ tels que${\displaystyle {\text{val}}_{k}(x-1)\geq r}$, où ${\displaystyle {\text{val}}_{k}:\ell \to \mathbb {R} }$ est l’unique extension de la valorisation de ${\displaystyle k}$ à ${\displaystyle \ell }$.

Un tore est dit induit s’il est le produit direct d’un nombre fini de tores de la forme considérée au paragraphe précédent. Le ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad d’un tore induit est défini comme le produit du ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ces facteurs.

Deuxièmement, considérons le cas où ${\displaystyle r=0}$ mais ${\displaystyle T}$ est un tore arbitraire. Ici le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle T(k)_{0}}$ est défini comme les points entiers du modèle de Néron de ${\displaystyle T}$^[8]. Cette définition coïncide avec celle donnée précédemment lorsque ${\displaystyle T}$ est un tore induit.

Il s’avère que tout tore peut être inclus dans un tore induit. Pour définir les sous-groupes de Moy-Prasad d'un tore général ${\displaystyle T}$, nous choisissons un plongement de ${\displaystyle T}$ dans un tore induit ${\displaystyle S}$ et poser ${\displaystyle T(k)_{r}:=T(k)_{0}\cap S(k)_{r}}$. Cette construction est indépendante du choix du tore induit et du plongement.

Par souci de simplicité, nous décrirons d’abord la construction du sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ dans le cas où ${\displaystyle G}$ est scindé. Ensuite, nous commenterons la définition générale.

Soit ${\displaystyle T}$ un tore scindé maximal de ${\displaystyle G}$ dont l'appartement contient ${\displaystyle x}$, et ${\displaystyle \Phi }$ le système racine de ${\displaystyle G}$ par rapport à ${\displaystyle T}$.

Pour chaque ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, soit ${\displaystyle U_{\alpha }}$ le sous-groupe de racines de ${\displaystyle G}$ par rapport à ${\displaystyle \alpha }$. En tant que groupe abstrait ${\displaystyle U_{\alpha }}$ est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{a}}}$, de façon non-canonique. Le point ${\displaystyle x}$ détermine, pour chaque racine ${\displaystyle \alpha }$, une valuation additive ${\displaystyle v_{\alpha ,x}:U_{\alpha }(k)\to \mathbb {R} }$. Nous définissons ${\displaystyle U_{\alpha }(k)_{x,r}:=\{u\in U_{\alpha }(k):v_{\alpha ,x}(u)\geq r\}}$.

Enfin, le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ est défini comme le sous-groupe de ${\displaystyle G(k)}$ générés par les sous-groupes ${\displaystyle U_{\alpha }(k)_{x,r}}$ pour ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ et le sous-groupe ${\displaystyle T(k)_{r}}$.

Si ${\displaystyle G}$ n'est pas scindé, alors le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ est défini par une descendance non ramifiée du cas quasi-scindé, une astuce standard dans la théorie de Bruhat-Tits. Plus précisément, on généralise d’abord la définition des sous-groupes Moy-Prasad donnée ci-dessus au cas où ${\displaystyle G}$ n'est que quasi-divisé, à l'aide du système de racines relatif. À partir de là, le sous-groupe de Moy-Prasad peut être défini en passant à l'extension non ramifiée maximale ${\displaystyle k^{\text{nr}}}$ de ${\displaystyle k}$, un corps sur lequel tout groupe réductif, et en particulier ${\displaystyle G}$, est quasi-scindé. On descent à ${\displaystyle k}$ en prenant les points fixes de ce groupe de Moy-Prasad sous le groupe de Galois de ${\displaystyle k^{\text{nr}}}$ sur ${\displaystyle k}$.

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$. Dans une procédure similaire à celle des groupes réductifs, à savoir en définissant les filtrations de Moy-Prasad sur l'algèbre de Lie d'un tore et l'algèbre de Lie d'un groupe de racine, on peut définir les algèbres de Lie de Moy-Prasad ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ; ce sont des ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-réseaux du ${\displaystyle k}$-espace vectoriel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Quand ${\displaystyle r\geq 0}$, il se trouve que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ est juste l'algèbre de Lie du ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-schéma en groupe ${\displaystyle G_{x,r}}$.

Nous avons défini la filtration de Moy-Prasad au point ${\displaystyle x}$ indicé par l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de nombres réels. Il est courantt d'étendre légèrement l'ensemble d'indexation, à l'ensemble ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {R} }}}$ composé de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et symboles formels ${\displaystyle r+}$ avec ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$. L'élément ${\displaystyle r+}$ est considéré comme étant infinitésimalement plus grand que ${\displaystyle r}$, et la filtration est étendue à ce cas en définissant ${\displaystyle G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s}}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moy–Prasad filtration » (voir la liste des auteurs).
• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert et Michel Raynaud, Néron models, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (n^o 21), 1990 (ISBN 978-3-540-50587-7, DOI 10.1007/978-3-642-51438-8, MR 1045822)
• François Bruhat et Jacques Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 41, n^o 1,‎ 1972, p. 5-251 (ISSN 0073-8301, DOI 10.1007/BF02715544, MR 0327923, lire en ligne)
• (en) Tsao-Hsien Chen et Masoud Kamgarpour, « Preservation of depth in local geometric Langlands correspondence », 2014.
• J. Hakim et F. Murnaghan, « Distinguished Tame Supercuspidal Representations », International Mathematics Research Papers, Oxford University Press,‎ 8 juillet 2010 (ISSN 1687-3017, DOI 10.1093/imrp/rpn005, MR 2431732, arXiv 0709.3506)
• Allen Moy et Gopal Prasad, « Unrefined minimal K-types for p-adic groups », Inventiones Mathematicae, vol. 116, n^o 1,‎ 1994, p. 393-408 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01231566, MR 1253198, hdl 2027.42/46580 )
• Allen Moy et Gopal Prasad, « Jacquet functors and unrefined minimal K-types », Commentarii Mathematici Helvetici, European Mathematical Society Publishing House, vol. 71, n^o 1,‎ 1996, p. 98-121 (ISSN 0010-2571, DOI 10.1007/bf02566411, MR 1371680)
• Jiu-Kang Yu, « Smooth models associated to concave functions in Bruhat-Tits theory », dans Autour des schémas en groupes, Vol. III, Société mathématique de France, coll. « Panoramas et Synthèses » (n^o 47), 2015 (MR 3525846), p. 227-258

• Portail des mathématiques