En mathématiques , la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.
Définitions et propriétés Formellement, la fonction K est définie comme
K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln ( Γ ( t + 1 ) ) d t ] . {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\,\mathrm {d} t\right].} Ou encore
K ( z ) = exp [ ζ ′ ( − 1 , z ) − ζ ′ ( − 1 ) ] {\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]} où ζ ′ ( z ) {\displaystyle \zeta '(z)} est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann , ζ ( a , z ) {\displaystyle \zeta (a,z)} représente la fonction zêta de Hurwitz définie par
ζ ′ ( a , z ) = d e f [ ∂ ζ ( s , z ) ∂ s ] s = a . {\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right]_{s=a}.} Une autre expression utilisant la fonction polygamma est[ 1]
K ( z ) = exp ( ψ ( − 2 ) ( z ) + z 2 − z 2 − z 2 ln ( 2 π ) ) {\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)} Ou la fonction polygamma équilibrée (en) [ 2] :
K ( z ) = A e ψ ( − 2 , z ) + z 2 − z 2 {\displaystyle K(z)=A\mathrm {e} ^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}} où A est la constante de Glaisher-Kinkelin . On peut montrer que pour tout α > 0 {\displaystyle \alpha >0} :
∫ α α + 1 ln ( K ( x ) ) d x − ∫ 0 1 ln ( K ( x ) ) d x = 1 2 α 2 ( ln ( α ) − 1 2 ) {\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)} Preuve : Pour cela, on pose f {\displaystyle f} définie par : f ( α ) = ∫ α α + 1 ln ( K ( x ) ) d x {\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x} . Après dérivation par rapport à α {\displaystyle \alpha } :
f ′ ( α ) = ln ( K ( α + 1 ) K ( α ) ) {\displaystyle f'(\alpha )=\ln \left({\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}\right)} . Soit, par définition de la fonction K : f ′ ( α ) = α ln ( α ) {\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln(\alpha )} . Donc f ( α ) = 1 2 α 2 ( ln ( α ) − 1 2 ) + C {\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln(\alpha )-{\frac {1}{2}}\right)+C} .
En spécialisant en α = 0 {\displaystyle \alpha =0} , on obtient ∫ 0 1 ln ( K ( x ) ) d x = C {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln(K(x))\,\mathrm {d} x=C} , d'où l'identité annoncée.
Lien à la fonction gamma La fonction K est étroitement liée à la fonction gamma et à la fonction G ; pour tout entier naturel n , on a
K ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 G ( n ) . {\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.} Car K prolonge l'hyperfactorielle sur les naturels :
K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 ⋯ n n . {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.} Les premières valeurs sont
1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000... (suite A002109 de l'OEIS ).
Références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « K-Function » (voir la liste des auteurs) . ↑ Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order ↑ (en) Olivier Espinosa et Victor H. Moll, « A Generalized polygamma function », Integral Transforms and Special Functions , vol. 15, no 2, avril 2004 , p. 101–115 (lire en ligne)
Liens externes (en) Eric W. Weisstein, « Fonction K », sur MathWorld Portail des mathématiques