En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt .
Définition La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée Λ {\displaystyle \Lambda } , est définie sur N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} par
Λ ( n ) = { ln p si n = p k pour un nombre premier p et un entier k ≥ 1 , 0 sinon. {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ pour un nombre premier }}p{\mbox{ et un entier }}k\geq 1,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}} Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.
Elle satisfait l'identité[ 1]
ln n = ∑ d ∣ n Λ ( d ) {\displaystyle \ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)} ou, ce qui est équivalent , Λ ( n ) = − ∑ d ∣ n μ ( d ) ln ( d ) {\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln(d)} , où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où μ {\displaystyle \mu } désigne la fonction de Möbius .
Fonction de Tchebychev La « fonction sommatoire de von Mangoldt » ψ {\displaystyle \psi } , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par
ψ ( x ) := ∑ p k ≤ x ln p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ log p x ⌋ ln p {\displaystyle \psi (x):=\sum _{p^{k}\leq x}\ln p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \ln p} . Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann [ 2] . Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à ψ ( x ) ∼ x ( x → + ∞ ) {\displaystyle \psi (x)\sim x\quad (x\to +\infty )} .
Séries de Dirichlet La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet , en particulier la fonction zêta de Riemann . Son logarithme est
log ζ ( s ) = ∑ n = 2 ∞ Λ ( n ) ln n 1 n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}\,{\frac {1}{n^{s}}}} pour ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} . Sa dérivée logarithmique est donc :
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}} . Plus généralement[ 3] , sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}} , on a
F ′ ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s ln n = − ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s ∑ d ∣ n Λ ( d ) {\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\ln n=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{d\mid n}\Lambda (d)} et si f {\displaystyle f} est complètement multiplicative , on en déduit F ′ ( s ) = − F ( s ) ∑ d = 1 ∞ f ( d ) Λ ( d ) d s {\displaystyle F'(s)=-F(s)\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {f(d)\Lambda (d)}{d^{s}}}} .
La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :
ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = − s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,{\rm {d}}x} qui reste vraie pour ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} .
Série exponentielle Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers 10 9 {\displaystyle 10^{9}} termes L'équivalent ψ ( x ) ∼ x {\displaystyle \psi (x)\sim x} (voir supra ) se réécrit :
∑ n ≤ x ( Λ ( n ) − 1 ) = o ( x ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}\left(\Lambda (n)-1\right)=o(x)} . Hardy et Littlewood ont examiné la série[ 4]
F ( y ) = ∑ n = 2 ∞ ( Λ ( n ) − 1 ) e − n y {\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)\mathrm {e} ^{-ny}} . Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que
F ( y ) = O ( 1 y ) ( y → 0 ) {\displaystyle F(y)=O\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)} et que
F ( y ) = Ω ± ( 1 y ) ( y → 0 ) {\displaystyle F(y)=\Omega _{\pm }\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right)\ (y\to 0)} . Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur K > 0 {\displaystyle K>0} telle que chacune des inégalités
F ( y ) < − K y {\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}}} et F ( z ) > K z {\displaystyle F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}} est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour y < 10 − 5 {\displaystyle y<10^{-5}} .
La moyenne de Riesz La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par
∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ Λ ( n ) {\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)} = − 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ′ ( s ) ζ ( s ) λ s d s {\displaystyle =-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds} = λ 1 + δ + ∑ ρ Γ ( 1 + δ ) Γ ( ρ ) Γ ( 1 + δ + ρ ) + ∑ n c n λ − n {\displaystyle ={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}} . Ici, λ {\displaystyle \lambda } et δ {\displaystyle \delta } sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre c > 1 {\displaystyle c>1} . La somme sur ρ {\displaystyle \rho } est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série ∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}} converge pour λ > 1 {\displaystyle \lambda >1} .
Voir aussi
Références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Von Mangoldt function » (voir la liste des auteurs) .
↑ Voir (en) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , Springer , 1976 , 340 p. (ISBN 978-0-387-90163-3 , lire en ligne) , p. 32-33 , th. 2.10 et 2.11, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité . ↑ (en) Allan Gut, « Some remarks on the Riemann zeta distribution », Rev. Roumaine Math. Pures et Appl. , vol. 51, 2006 , p. 205-217 (lire en ligne) . ↑ C'est plutôt par cette méthode qu'Apostol 1976 , p. 236, calcule ζ'/ζ , après s'être assuré (p. 228-229 ) que sur son demi-plan de convergence, ζ ne s'annule pas. ↑ (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood , « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica , vol. 41, 1916, p. 119-196. Portail de l'analyse