Fonction exponentielle p-adique
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse p-adique, la fonction exponentielle p-adique est un analogue p-adique de la fonction exponentielle usuelle sur les nombres complexes. Comme dans le cas complexe, elle admet une réciproque, appelée logarithme p-adique.
Définition
La fonction exponentielle usuelle sur est définie par la série entière
De manière tout à fait analogue, on définit la fonction exponentielle sur , la complétion de la clôture algébrique de , par
Cependant, contrairement à qui converge sur tout , ne converge que sur le disque
En effet, une série p-adique converge si et seulement si le terme général tend vers 0, et puisque tend à rendre la norme p-adique grande (voir la formule de Legendre), il est nécessaire de contrôler la valuation de z.
Fonction logarithme p-adique
La série entière
converge pour x dans satisfaisant , et définit ainsi la fonction logarithmique p-adique pour , vérifiant . La fonction peut être étendue à l'ensemble des éléments non nuls de en imposant . Plus précisément, chaque élément de peut s'écrire avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et |z − 1| p < 1[1], auquel cas . Ce prolongement est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix du . En fait, il existe un prolongement du logarithme de à tout pour chaque choix de dans [2].
Propriétés
Si les exponentielles p-adique de z et w sont définies, alors celle de leur somme l'est aussi et on a : .
Pour z dans le domaine de définition de , on et .
Les racines du logarithme d'Iwasawa sont exactement les éléments de de la forme pr·ζ où r est un nombre rationnel et ζ une racine de l'unité[3].
Notons qu'il n'existe pas d'analogue p-adique de l'identité d'Euler . C'est un corollaire du théorème de Strassmann (en).
Une dernière différence fondamentale avec le cas complexe est que le domaine de convergence de est bien plus petit que celui de . Une fonction exponentielle modifiée — la fonction exponentielle d'Artin–Hasse (en) — converge sur .
Notes et références
Notes
- ↑ Cohen 2007, Proposition 4.4.44
- ↑ Cohen 2007, §4.4.11
- ↑ Cohen 2007, Proposition 4.4.45
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic exponential function » (voir la liste des auteurs).
- Chapitre 12 de J. W. S. Cassels, Local fields, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts », (ISBN 0-521-31525-5)
- Henri Cohen, Number theory, Volume I: Tools and Diophantine equations, vol. 239, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », (ISBN 978-0-387-49922-2, DOI 10.1007/978-0-387-49923-9, MR 2312337)
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