Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature.

Définition

Soit ϕ ∈ L n ( E ) {\displaystyle \phi \in {\mathcal {L_{n}}}(E)} une forme n {\displaystyle n} -linéaire avec E {\displaystyle E} un K {\displaystyle K} -espace vectoriel. ϕ {\displaystyle \phi } est antisymétrique ssi

∀ σ ∈ S n , ∀ ( x 1 , … , x n ) ∈ E n , ϵ ( σ ) ϕ ( x 1 , … , x n ) = ϕ ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) {\displaystyle \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n},\;\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\epsilon (\sigma )\phi (x_{1},\dots ,x_{n})=\phi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}

Où S n {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}} est le groupe symétrique de { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} .
En particulier puisque pour tout 2-cycle τ ∈ S n ,   ϵ ( τ ) = − 1 {\displaystyle \tau \in {\mathfrak {S}}_{n},~\epsilon (\tau )=-1} ,

∀ ( x 1 , … , x n ) ∈ E n , ∀ ( i , j ) ∈ N 2 , 1 ≤ i < j ≤ n ⇒ ϕ ( x 1 , … , x i , … , x j , … , x n ) = − ϕ ( x 1 , … , x j , … , x i , … , x n ) {\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n},\;\forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2},\;1\leq i<j\leq n\Rightarrow \;\phi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-\phi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}

Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.


Exemples

  • Une forme bilinéaire f {\displaystyle f} sur E {\displaystyle E} est dite antisymétrique si :
    ∀ x , y ∈ E f ( x , y ) = − f ( y , x ) {\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)} .
  • Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
  • Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.
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