Inégalité de Bousquet

L'inégalité de Bousquet est une inégalité de concentration du supremum d'une somme de variables indexé par un ensemble quelconque établie par Bousquet^[1]. Ce résultat ressemble à l'inégalité de Bennett et donne la déviation du supremum d'un processus empirique par rapport à sa moyenne.

On peut retrouver les énoncés dans l'article de Bousquet ou le livre de Boucheron, Lugosi et Massart^[2]. Soient ${\displaystyle X_{1,s},\dots ,X_{n,s}}$ des variables aléatoires réelles i.i.d. indexés par ${\displaystyle s\in T}$. On suppose que les variables sont centrées et majorées par 1, i.e. ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i,s}]=0}$ et ${\displaystyle |X_{i,s}|\leq 1}$ pour tout ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ et ${\displaystyle s\in T}$. On note ${\displaystyle Z=\sup _{s\in T}\sum _{i=1}^{n}X_{i,s}}$. Alors pour tout ${\displaystyle \lambda ,t\geq 0}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \mathbb {E} e^{\lambda (Z-\mathbb {E} Z)}&\leq v\phi (\lambda )\\\mathbb {P} (Z\geq \mathbb {E} Z+t)&\leq e^{-vh(t/v)}\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \phi (u)=e^{u}-u-1,h(u)=(1+u)\log(1+u)-u}$ pour ${\displaystyle u\geq -1}$, ${\displaystyle v=2\mathbb {E} Z+\sigma ^{2}}$ avec ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sup _{s\in T}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} X_{i,s}^{2}}$. En optimisant la fonction ${\displaystyle h}$, on obtient en particulier

${\displaystyle \mathbb {P} (Z\geq \mathbb {E} Z+t)\leq \exp \left(-{\frac {t^{2}}{2(v+t/3)}}\right)}$

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