Inégalité de Maclaurin
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En mathématiques, les inégalités de Maclaurin forment une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.
Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence[1].
Énoncé
Soient a1, a2, … , an des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes Sk définies par
Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré en les variables a1, a2, … , an, c'est-à-dire la somme de tous les produits de d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.
Alors,
et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.
Exemples
L'inégalité est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres.
Pour , les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)
Démonstration
Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S0 = 1)
En effet, se simplifie en qui équivaut à Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.
Références
- ↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 294-296
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Maclaurin's inequality » (voir la liste des auteurs).
- (en) Piotr Biler et Alfred Witkowski, Problems in Mathematical Analysis, New York/Basel, CRC Press, , 227 p. (ISBN 0-8247-8312-3, lire en ligne), p. 5
- (en) Colin Mac Laurin, « A second letter from Mr. Colin Mc Laurin, […] to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra […] », Phil. Trans., vol. 36, nos 407-416, , p. 59-96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)
Articles connexes
- Inégalité de Muirhead
- Inégalités de Newton
- Moyenne d'ordre p
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