Fig. 1. Intégrale simple comme aire de la figure délimitée par une courbe, deux droites et , et l'axe des abscisses.Fig. 2. Intégrale double comme volume du solide situé entre un domaine du plan et la surface image de ce domaine par une fonction.
En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le changement de variables et le théorème de Fubini. Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension (ou son hypervolume si ) comme l'intégrale d'une fonction de variables (Fig. 2), de même que l'intégrale définie d'une fonction continue positive d'une variable est égale à « l'aire sous la courbe » associée (Fig. 1).
Soit une fonction bornée sur une partie bornée de . Pour définir (au sens de Riemann) l'intégrabilité de et, le cas échéant, la valeur de son intégrale, notée
ou plus simplement , on se ramène d'abord au cas où est un pavé fermé, en choisissant un tel qui contient et en prolongeant par (on démontre après coup que les définitions suivantes sont indépendantes du choix de ). Les définitions sont ensuite identiques, mutatis mutandis, à celles dans le cas : à l'aide des notions de volume et subdivision de P et de pas, marquage et raffinement d'une telle subdivision, on définit l'intégrabilité et l'intégrale soit en termes d'intégrales inférieure et supérieure, soit en termes de sommes de Darboux inférieure et supérieure, soit en termes de sommes de Riemann, et l'on montre que ces trois définitions sont équivalentes[1]. La première, par exemple, s'écrit :
(c'est-à-dire que est intégrable si et seulement si ses intégrales inférieure, , et supérieure, , sont égales, et l'intégrale de est alors par définition cette valeur commune), et la troisième s'écrit :
où chaque est une subdivision marquée de P de pas δ.
Dans les applications pratiques, comme l'ingénierie ou la physique appliquée, on rencontre quasi exclusivement des intégrales simples, doubles ou triples. L'intégrale, sur un domaine de dimension , ou , de la fonction constante , est respectivement la longueur, l'aire ou le volume de .
Le théorème de Lebesgue-Vitali étend aux fonctions de plusieurs variables le critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann : une fonction bornée sur une partie bornée de est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble des points de discontinuité de son prolongement par à est négligeable[2]. En particulier :
Théorème — Toute fonction continue et bornée sur une partie cubable de est Riemann-intégrable[2].
En effet, une partie de est cubable (si et) seulement si elle est bornée et de frontière négligeable. Cette hypothèse de régularité du domaine est indispensable : une fonction continue sur un compact peut ne pas être intégrable (prendre, sur un compact non cubable, une fonction constante non nulle). Mais en pratique, tous les domaines considérés seront cubables, comme intersections finies de domaines « simples », au sens défini ci-dessous.
Propriétés élémentaires
Les autres propriétés des intégrales simples — linéarité, monotonie, etc. se généralisent également. On en déduit par exemple que si est un compact connexe de , cubable mais non négligeable, et une fonction continue, alors il existe un point de en lequel la « valeur moyenne » ou « moyenne intégrale » de sur est atteinte, c'est-à-dire tel que
Cette propriété généralise le théorème de la moyenne en dimension , à cela près qu'en dimension supérieure, on n'est plus assuré de trouver un intérieur à .
Théorème de Fubini
Le théorème de Fubini pour les intégrales de Riemann est énoncé ci-dessous pour une intégrale double pour simplifier les notations, mais il se généralise en remplaçant par . De plus, on peut évidemment intervertir les rôles des deux variables (mono- ou multidimensionnelles) et .
Théorème[3] — Pour toute application :
Corollaire[4] — Lorsque est Riemann-intégrable, les deux fonctions (intégrales inférieure et supérieure)
sont Riemann-intégrables et de même intégrale que .
L'énoncé de la conclusion se simplifie[5] lorsque de plus, pour tout , la fonction est intégrable (sur ) : alors, son intégrale (fonction de ) est intégrable et
Changement de variables
Soient et deux ouverts de , un C1-difféomorphisme et une application de dans .
Théorème[6] — Si et sont bornés et si et (f∘Φ) × |det JΦ| sont Riemann-intégrables, alors
Ces hypothèses sont vérifiées dès que et sont cubables, est continue bornée, et est borné[7].
Méthodes d'intégration
Examen direct
Linéarité
Par linéarité, pour toute constante , En particulier, l'intégrale d'une fonction constante égale à , sur un domaine cubable de , est le produit de par le volume de .
De même, l'intégrale d'une somme de fonctions intégrables peut être transformée en la somme de leurs intégrales :
En particulier, on peut partitionner le domaine d'intégration en un nombre fini de sous-domaines — ce qui revient à écrire comme la somme des produits de par les indicatrices de ces sous-domaines — puis appliquer la règle précédente. C'est ce qui remplace, en dimensions supérieures, la relation de Chasles propre à la dimension :
Exploitation des symétries
Si la fonction est impaire par rapport à une variable et si le domaine est invariant par la symétrie par rapport à l'hyperplan, l'intégrale s'annule.
Exemple :
Soit la fonction avec pour domaine d'intégration la boule unité de . Le domaine présente une symétrie par rapport aux trois plans de coordonnées, mais comme la fonction est impaire par rapport à la variable , il suffit de la symétrie par rapport au plan yOz pour annuler toute l'intégrale.
Réduction à des intégrales simples
La réduction en intégrales simples utilise le concept de domaine simple, de façon à exprimer l'intégrale en une composition d'intégrales simples. L'intégration est effectuée de l'intérieur vers l'extérieur, chaque fois par rapport à une seule variable en considérant les autres constantes, de la même façon que pour le calcul de dérivées partielles.
Domaines simples
Fig. 3. Un domaine simple de est délimité par les courbes et de deux fonctions et définies sur , et par les verticales et au-dessus du bord de .
Si est une partie cubable de et si deux fonctions et , définies sur , sont Riemann-intégrables — par exemple si elles sont bornées et continues (éventuellement par morceaux) — alors la partie suivante de , appelée un « domaine simple orhogonal à l'hyperplan », est cubable (Fig. 3) :
On peut bien sûr, dans cette définition et ce théorème, permuter les composantes des n-uplets de , pour choisir laquelle joue le rôle de .
Si est une fonction continue bornée sur ce domaine simple , les hypothèses du critère de Lebesgue sont vérifiées, et le théorème de Fubini devient :
Exemples
Réduction d'une intégrale double
Fig. 4. Domaine simple défini par et , pour .
La région (Fig. 4) se présente comme le domaine simple (orthogonal à l'axe ), associé aux deux fonctions et , sur l'intervalle (on trouve l'extrémité , abscisse du point d'intersection des courbes de et , en calculant la solution positive de l'équation ).
On se propose d'intégrer sur la fonction . Appliquons le théorème :
On calcule donc d'abord, pour fixé :
puis l'intégrale définie :
Si l'on avait choisi de redéfinir comme un domaine simple orthogonal à l'axe , on aurait obtenu les expressions :
conduisant au même résultat.
Réduction d'une intégrale triple
Fig. 5. Domaine orthogonal au plan dans .
Considérons le domaine de orthogonal au plan (Fig. 5)
Sa projection sur est le domaine de orthogonal à défini par[8]
Lorsque les méthodes précédentes ne sont pas efficaces (domaine difficile à exprimer ou fonction difficile à intégrer), un changement de variables permet parfois de reformuler l'intégrale de façon plus commode.
Coordonnées polaires
Fig. 6. Passage d'un secteur annulaire de coordonnées cartésiennes à polaires.Fig. 7. Passage d'un anneau des coordonnées cartésiennes aux polaires.
Dans , si le domaine présente une symétrie circulaire (c.-à-d. décrit un secteur annulaire) et que la fonction a des caractéristiques particulières, on peut appliquer une transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, pour changer la forme du domaine et faciliter l'intégration.
Le calcul du nouveau domaine U = Φ−1(V) s'effectue de façon automatique, en remplaçant et en fonction de et dans les conditions sur qui définissent l'ancien domaine .
Soit à intégrer sur l'ouvert de l'exemple précédent, qui correspond via à l'ouvert ( et ).
donc
Coordonnées cylindriques
Fig. 8. Système de coordonnées cylindriques.
Dans , l'intégration sur des domaines ayant pour base une portion de disque peut s'effectuer via un passage en coordonnées cylindriques :
Puisque la composante est inchangée, le calcul du nouveau domaine et du jacobien sont calqués sur ceux du passage en coordonnées polaires, et l'on a :
Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans les cas de domaines cylindriques, coniques, ou tout du moins de régions pour lesquelles il est commode tant de délimiter l'intervalle des que de transformer la base circulaire et la fonction.
Exemple :
Soit à intégrer sur . Alors,
et
En toute rigueur, et ne sont pas ouverts, le jacobien s'annule en certains points de , et n'est même pas injective de vers . Mais il suffirait, pour remédier à tous ces problèmes, de remplacer le parallélépipède par son intérieur et le cylindre par Φ(U), et cela ne modifierait pas les intégrales (puisque les parties fermées qu'on supprime sont négligeables). Ce genre de raccourci, fréquent dans l'application du théorème de changement de variables proprement dit, sera désormais tacite. On obtient donc :
Coordonnées sphériques
Fig. 9. Système de coordonnées sphériques.
Certains domaines de présentent une symétrie sphérique, ainsi il est possible d'exprimer les coordonnées de leurs points à l'aide de deux angles (longitude) et (colatitude) et d'une distance à l'origine . Le passage en coordonnées sphériques est la transformation :
(avec positif, compris entre et , et entre et ) et son jacobien est :
Dès lors, on a (en se rappelant qu'il faut prendre la valeur absolue du jacobien) :
Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans le cas de domaines sphériques et de fonctions facilement simplifiables à l'aide des identités trigonométriques, comme dans l'exemple du calcul du volume d'une boule ou l'exemple ci-dessous.
Exemple :
Intégrons sur (boule de rayon centrée à l'origine).
On termine le calcul en utilisant par exemple le changement de variable t = –cos φ :
et l'on conclut :
(Le passage en coordonnées cylindriques mènerait à des calculs un peu plus compliqués.)
Grâce aux méthodes décrites précédemment, il est possible de démontrer les règles de calcul du volume de certains solides, en calculant l'intégrale triple sur ces solides la fonction constante .
Cylindre droit :
Le volume d'un cylindre droit (de base et de hauteur ) se ramène à l'intégrale double sur le domaine du plan . On retrouve ainsi, dans le cas particulier d'un cylindre droit, la formule classique : .
Grâce aux formules de réduction, on peut calculer le volume du -simplexe (le tétraèdre rectangle dont le sommet est à l'origine et les arêtes génératrices sont placées le long des trois axes et de longueur ), en considérant, par exemple, l'orthogonalité selon le plan et l'axe :
ce qui est conforme à la formule générale : Volume d'un cône = aire base × hauteur / 3, soit ici : .
↑Une coquille s'est glissée dans la Fig. 5 : remplacer f(y) et g(y) par f(x) et g(x).
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
Intégrale double, sur Wikiversity
Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : Fonctions réelles de plusieurs variables réelles, Lausanne, PPUR, , 2e éd. (1re éd. 1998), 172 p. (ISBN2-88074-257-9)