Lemme de Grönwall
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En mathématiques, le lemme de Grönwall, aussi appelé inégalité de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous trois formes, intégrale, différentielle et discrète.
Utilisation
Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz[1].
Forme intégrale
Si et sont des fonctions continues qui vérifient :
où est une constante, alors :
- .
Soit .
Alors,
donc , c'est-à-dire que la fonction majorante de l'hypothèse est elle-même majorée par celle de la conclusion.
En particulier, si et alors .
Il existe une version plus générale du lemme de Grönwall dans le cas où est une fonction de . Si
alors
Enfin, si la fonction est croissante, alors
Forme différentielle
Si l'inéquation différentielle suivante est vérifiée :
- ,
alors on a l'inégalité :
pour .
En particulier, si , alors .
Il est important de noter que la forme différentielle du lemme de Grönwall reste vraie sans l'hypothèse de positivité sur la fonction .
Forme discrète
La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.
Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :
- le pas de temps à chaque itération,
- l'erreur totale (accumulée) à l'itération ,
- l'erreur supplémentaire apportée par l'itération .
Considérons de plus le nombre réel positif qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.
Finalement, ajoutons, pour simplifier l'écriture :
- le temps à l'itération ,
de sorte que .
Si de plus les erreurs successives sont liées par
- ,
alors :
- .
La démonstration se fait par récurrence en remarquant que pour tout .
Notes et références
- ↑ (en) Gastão S. F. Frederico, J. Vanterler da C. Sousa et Azizollah Babakhani, « Existence and uniqueness of global solution for a Cauchy problem and g-variational calculus », Computational and Applied Mathematics, vol. 40, no 6, (ISSN 2238-3603 et 1807-0302, DOI 10.1007/s40314-021-01620-5, lire en ligne
, consulté le )
Voir aussi
Sur les autres projets Wikimedia :
- Exercice sur une variante du lemme de Grönwall, sur Wikiversity
(en) J. A. Oguntuase, « On an inequality of Gronwall », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 2, no 1, (lire en ligne [archive du ])
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