Lemme de classe monotone

• une classe d'intervalles : ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}=\{]-\infty ,\,x]\ |\ x\in \mathbb {R} \}.}$
• la classe des singletons : ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}=\{\{x\}\ |\ x\in \Omega \}\ \cup \ \{\emptyset \}.}$
• la classe des pavés : ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}=\{A\times B\ |\ A,B\in {\mathcal {P}}(\Omega )\}.}$

Soit deux mesures de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ définies sur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}}).}$ La classe ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A\in {\mathcal {B}}\ |\ \mathbb {P} (A)=\mathbb {Q} (A)\}}$ est une classe monotone.

On note ${\displaystyle \mathbb {M} }$ l'ensemble des classes monotones ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ telles que ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {M}}.}$ Montrons d'abord que ${\displaystyle \mathbb {M} }$ possède un élément plus petit que (i.e. inclus dans) tous les autres (cet élément sera de plus unique). En effet :

• ${\displaystyle \mathbb {M} }$ n'est pas vide, car il contient ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega ),}$ l'ensemble de toutes les parties de ${\displaystyle \Omega \ ;}$
• ainsi l'intersection ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ de tous les éléments de ${\displaystyle \mathbb {M} }$ est bien définie et ${\displaystyle {\mathcal {C}}\ \subset \ {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}},}$
• par ailleurs, l'intersection de n'importe quelle famille de classes monotones est encore une classe monotone, donc ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est une classe monotone et par conséquent ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ appartient à ${\displaystyle \mathbb {M} ,}$
• enfin ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est par construction inclus dans tout élément de ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

La classe ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est donc le plus petit élément de ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

On note ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$ la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ Comme toute tribu est une classe monotone, ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$ est une classe monotone contenant ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ donc ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}\subset \sigma ({\mathcal {C}}).}$

Dans la suite de la démonstration, on s'attache à montrer que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est une tribu (ce qui entrainera que ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$^[3]) . On utilise la proposition suivante :

Démonstration

En effet toute classe monotone ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ contient ${\displaystyle \Omega }$ et est stable par passage au complémentaire (puisque stable par différence et contenant ${\displaystyle \Omega }$). Si de plus ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est stable par intersection, la version ensembliste des Lois de De Morgan entraîne qu'elle est stable par réunion :

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\in {\mathcal {C}}\}&\Rightarrow \{{\overline {A}},{\overline {B}}\in {\mathcal {C}}\}\\&\Rightarrow \{{\overline {A}}\cap {\overline {B}}\in {\mathcal {C}}\}\\&\Rightarrow \{{\overline {{\overline {A}}\cap {\overline {B}}}}(=A\cup B)\in {\mathcal {C}}\}.\end{aligned}}}$

Par une récurrence évidente, la réunion d'une famille finie d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est encore un élément de ${\displaystyle {\mathcal {M}}.}$ Soit alors une famille dénombrable d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {M}},}$ notée ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 1}.}$ Posons

${\displaystyle B_{n}=\bigcup _{1\leq k\leq n}\ A_{k}.}$

Alors ${\displaystyle (B_{n})_{n\geq 1}}$ est une suite croissante d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {M}},}$ donc

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}\ B_{n}\ \in \ {\mathcal {M}},}$

mais par ailleurs, on peut démontrer, par exemple par double inclusion, que

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}\ B_{n}\ =\ \bigcup _{n\geq 1}\ A_{n},}$

La proposition est donc démontrée.

Il ne nous reste plus qu'à montrer que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est stable par intersection pour en conclure que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est une tribu. Pour cela, pour toute partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle \Omega ,}$ on pose :

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{B\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}\ |\ B\cap A\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}\right\}.}$

On montre facilement, d'une part que ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$ satisfait les deux dernières propriétés de classe monotone, car

${\displaystyle (B_{1}\cap A)\backslash (B_{2}\cap A)\ =\ (B_{1}\backslash B_{2})\cap A\quad {\text{et}}\quad \bigcup _{n\geq 0}(B_{n}\cap A)\ =\ \left(\bigcup _{n\geq 0}B_{n}\right)\cap A,}$

d'autre part que si ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}},}$ alors ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {D}}_{A}.}$ Ainsi ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$ est une classe monotone dès que ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}.}$ Le raisonnement est alors en 2 étapes :

• si ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}},}$ alors la stabilité par intersection de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ entraine que ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {D}}_{A},}$ donc que ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}\subset {\mathcal {D}}_{A},}$ donc que pour un élément ${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ quelconque, on a ${\displaystyle B\in {\mathcal {D}}_{A},}$ ou bien, de manière équivalente, ${\displaystyle A\in {\mathcal {D}}_{B}\ ;}$
• ainsi, pour un élément ${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ quelconque, on a ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {D}}_{B},}$ et finalement ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}\subset {\mathcal {D}}_{B}\ :}$ en d'autre termes

${\displaystyle \forall \,B,B^{\prime }\,\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}},\qquad B\cap B^{\prime }\in {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}.}$

Par application de la Proposition, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ est donc une tribu. Comme ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}}$ contient ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ on en déduit que ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {M}}_{\mathcal {C}}.}$ ^[4]

On pose

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,\mathbb {P} (A)=\mathbb {Q} (A)\}.}$

On vérifie facilement que ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est une classe monotone. Comme ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ est une classe monotone contenant ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ contient la plus petite classe monotone contenant ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ à savoir ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}).}$

On pose

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{]-\infty ,\,x]\,|\,x\in \mathbb {R} \}.}$

La classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est un π-système, et ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$ Comme les deux mesures de probabilité ${\displaystyle \mathbb {P} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ont même fonction de répartition, i.e.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {P} (]-\infty ,\,x])=\mathbb {Q} (]-\infty ,\,x]),}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ coïncident sur ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ donc sur ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$ Par définition, deux variables aléatoires réelles, ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y,}$ ont même fonction de répartition si leurs lois de probabilité, ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} _{Y},}$ ont même fonction de répartition :

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\quad \mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A),\qquad {\text{et }}\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbb {P} _{X}(]-\infty ,\,x])=\mathbb {P} (X\leq x).}$

Ainsi, si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y,}$ ont même fonction de répartition, ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} _{Y}}$ coïncident sur ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ donc ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{Y}.}$

Expliquons brièvement pourquoi ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$  :

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ est par définition la tribu engendrée par les ouverts de ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• un ouvert ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, car, par densité de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ on a

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\bigcup _{(a,b)\in E}]a,b[,\qquad {\text{avec}}\qquad E=\{(a,b)\in \mathbb {Q} ^{2}\,|\,a<b,\ ]a,b[\subset {\mathcal {O}}\},}$

• et les intervalles ouverts appartiennent à ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$ (donc les ouverts appartiennent à ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}),}$ donc ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$ contient ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ), car

${\displaystyle ]a,b[=]-\infty ,a]^{c}\,\cap \,\left(\bigcup _{n\geq 1}]-\infty ,b-{\tfrac {1}{n}}]\right).}$

Pour l'inclusion en sens inverse (${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ contient ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$), notons que ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ est la tribu engendrée par tous les fermés de ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ alors que ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}$ est engendrée par certains fermés de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ seulement.

On pose

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}=\left\{A\in {\mathcal {A}}:\forall J\subset I\backslash \{j\},\forall (A_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}{\mathcal {C}}_{j},\quad \mathbb {P} \left(A\cap {\big (}\bigcap _{j\in J}A_{j}{\big )}\right)=\mathbb {P} (A)\cdot \prod _{j\in J}\mathbb {P} (A_{j})\right\}}$

On vérifie facilement que ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ est une classe monotone. Comme ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ est une classe monotone contenant ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ contient la plus petite classe monotone contenant ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{j},}$ à savoir ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{j}^{\prime }=\sigma ({\mathcal {C}}_{j}).}$ La nouvelle famille de π-systèmes obtenue en remplaçant ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{j}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{j}^{\prime }}$ dans la famille ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{i})_{i\in I}}$ est donc encore une famille de π-systèmes mutuellement indépendants. On peut par le même raisonnement remplacer successivement chaque ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}^{\prime }=\sigma ({\mathcal {C}}_{i}),}$ dans la famille ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{i})_{i\in I},}$ sans que cette famille perde sa propriété de mutuelle indépendance. Notons qu'une tribu, et en particulier chaque ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}^{\prime },}$ est aussi, nécessairement, un π-système.

• Posons ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}=\{X^{-1}(]-\infty ,\,x])\ |\ x\in \mathbb {R} \}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}=\{Y^{-1}(]-\infty ,\,y])\ |\ y\in \mathbb {R} \}.}$ Alors, sous les hypothèses du premier critère, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ sont des π-systèmes indépendants. En vertu de la proposition, ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{1})}$ et ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{2})}$ sont alors des tribus indépendantes. Mais ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{1})=\sigma (X)}$ et ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{2})=\sigma (Y),}$ ce qui assure bien l'indépendance du couple (X,Y).
• Posons ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}=\{X^{-1}(m)\ |\ m\in \mathbb {N} \}\cup \{\emptyset \}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{4}=\{Y^{-1}(n)\ |\ n\in \mathbb {N} \}\cup \{\emptyset \}.}$ Sous les hypothèses du deuxième critère, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{4}}$ sont des π-systèmes indépendants. Par ailleurs, ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{1})=\sigma (X)}$ et ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}}_{4})=\sigma (Y),}$ et on conclut comme précédemment. Pour démontrer le troisième critère, on utilise cette fois ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{4}.}$