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En géométrie du triangle, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.
On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par α, β, γ et les côtés opposés aux angles par les lettres correspondantes a, b et c. Alors,
Démonstration
La loi des tangentes est un corollaire immédiat des formules de Mollweide.
On peut aussi la déduire directement, comme ces dernières, de la loi des sinus et des formules de Simpson[1] :
Une variante pour la deuxième étape est :
Généralisation aux géométries non euclidiennes
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Géométrie sphérique
Dans un triangle sphérique ABC, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (Fig. 2) et la loi des tangentes devient :
Notes et références
↑(en) R.M. Mathews, « The Proofs of the Law of Tangents », School Science and Mathematics, vol. 15, , p. 798-801 (DOI 10.1111/j.1949-8594.1915.tb16374.x)
Liens externes
(en) Eric W. Weisstein, « Law of Tangents », sur MathWorld