Matrices l-équivalentes

En algèbre linéaire, deux matrices sont l-équivalentes (ou ligne-équivalentes) si on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes. Si A et B sont deux matrices, cette condition se réécrit comme : il existe une matrice inversible ${\displaystyle G}$ tel que ${\displaystyle A=GB}$.

Deux matrices A et B de ${\displaystyle M_{m,n}({\mathcal {K}})}$ sont l-équivalentes s'il existe des matrices élémentaires ${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{n}}$ telles que ${\displaystyle A=M_{1}\dots M_{n}B}$. Ceci revient à dire que l'on peut passer de l'une à l'autre par des opérations élémentaires sur les lignes. Cette définition est équivalente à l'existence d'une matrice inversible G telle que ${\displaystyle A=GB}$. En effet, le groupe linéaire ${\displaystyle GL_{n}(K)}$ est engendré par les matrices élémentaires. On note parfois ${\displaystyle A{\stackrel {l}{\sim }}B}$.

La l-équivalence est une relation d'équivalence sur l'ensemble des matrices.

• elle est réflexive
• elle est symétrique : si ${\displaystyle A=GB}$, avec G une matrice inversible, alors ${\displaystyle G^{-1}A=B}$
• elle est transitive

Deux matrices l-équivalentes ont même rang ; la réciproque n'est pas vraie. Il suffit de prendre ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Deux matrices de ${\displaystyle M_{m,n}({\mathcal {K}})}$ sont l-équivalentes si et seulement si elles ont le même noyau.

Toute matrice est l-équivalente à une matrice échelonnée en lignes. Les opérations élémentaires à effectuer pour passer d'une matrice à une matrice échelonnée en lignes peuvent être obtenues par le pivot de Gauss.

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