Mesure intérieure

En mathématiques, une mesure intérieure est une fonction définie sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné, qui associe à chaque sous-ensemble une valeur positive, potentiellement infinie.

Cette valeur peut être vue intuitivement comme la valeur minimum de la mesure de ce sous-ensemble.

Étant donné un ensemble X, une mesure interne est une fonction φ définie sur l'ensemble des parties de X à valeurs positives dans la droite réelle achevée.$${\displaystyle \phi :{\mathfrak {P}}(X)\to [0,\infty ],}$$qui vérifie les conditions suivantes :

• L'ensemble vide est de mesure nulle :

$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0}$$

• φ est superadditive : pour tous ensembles A et B disjoints :

$${\displaystyle \phi (A\cup B)\geq \phi (A)+\phi (B).}$$

• Pour toute suite A₁, A₂,... d'ensembles emboîtés (c'est-à-dire vérifiant pour tout j ${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$) ) et si A₁ est de mesure finie (${\displaystyle \phi (A_{1})<\infty }$) alors, $${\displaystyle \phi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\phi (A_{j})}$$
• Si l'ensemble A est de mesure infinie, alors pour tout réel positif r, il existe un sous-ensemble B inclus dans A tel que $${\displaystyle r\leq \phi (B)<\infty .}$$

Soit A une tribu sur X et μ une mesure sur cette tribu. Alors μ induit sur X une mesure intérieure μ_* définie pour toute partie T de X par:$${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in {\mathcal {A}}{\text{ et }}S\subseteq T\}.}$$On peut alors voir la valeur de μ_* sur T comme la taille minimale de T, puisque T est au moins aussi grand que la mesure de ses sous-ensembles mesurables (au sens de μ). Bien que μ_* ne soit en général pas une mesure, elle en partage certaines propriétés

1. ${\displaystyle \mu _{*}(\emptyset )=0,}$
2. ${\displaystyle \mu _{*}}$ est positive,
3. Si ${\displaystyle E\subseteq F}$ alors ${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).}$

La mesure intérieure induite est souvent utilisée de concert avec la mesure extérieure pour étendre une mesure donnée à une tribu plus grande.

Soit μ une mesure finie définie sur une tribu A sur X et μ* et μ_* respectivement les mesures extérieures et intérieures induites par μ, alors les parties T de X telles que μ*(T) = μ_*(T) forment une tribu  contenant A^[1].

On peut alors définir pour tout T dans  une nouvelle mesure μ' telle que$${\displaystyle \mu ^{\prime }(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$$Cette nouvelle mesure est appelée complétion de la mesure μ.

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