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Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels[ 1] définis par le développement en série de Taylor suivant :
1 cos x = ∑ n = 0 ∞ E n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} On les appelle aussi parfois les nombres sécants, voir la suite A000364 de l'OEIS .
Premiers nombres d'Euler Les premières valeurs sont :
E 0 = {\displaystyle E_{0}=} 1 E 1 = {\displaystyle E_{1}=} 1 E 2 = {\displaystyle E_{2}=} 5 E 3 = {\displaystyle E_{3}=} 61 E 4 = {\displaystyle E_{4}=} 1 385 E 5 = {\displaystyle E_{5}=} 50 521 E 6 = {\displaystyle E_{6}=} 2 702 765 E 7 = {\displaystyle E_{7}=} 199 360 981 E 8 = {\displaystyle E_{8}=} 19 391 512 145 E 9 = {\displaystyle E_{9}=} 2 404 879 675 441 Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante :
sec x = 1 cos x = 1 + E 1 x 2 2 ! + E 2 x 4 4 ! + E 3 x 6 6 ! + … {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}=1+E_{1}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{2}{\frac {x^{4}}{4!}}+E_{3}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots } et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :
1 cosh x = 1 − E 1 x 2 2 ! + E 2 x 4 4 ! − E 3 x 6 6 ! + … {\displaystyle {\frac {1}{\cosh x}}=1-E_{1}{\frac {x^{2}}{2!}}+E_{2}{\frac {x^{4}}{4!}}-E_{3}{\frac {x^{6}}{6!}}+\dots } . Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire : E n = A 2 n {\displaystyle E_{n}=A_{2n}} . Une configuration zig-zag de taille n {\displaystyle n} est une liste de n {\displaystyle n} nombres réels z 1 ,..., zn tels que
z 1 > z 2 < z 3 > z 4 … {\displaystyle z_{1}>z_{2}<z_{3}>z_{4}\dots } Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z k {\displaystyle z_{k}} sont les mêmes.
Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice .
Sommations Une formule explicite pour les nombres d'Euler est [réf. souhaitée] :
E n = ( − 1 ) n i ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) j ( k − 2 j ) 2 n + 1 2 k i k k {\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}\mathrm {i} \sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}\mathrm {i} ^{k}k}}} où i est le nombre complexe tel que i2 = −1 .
Sommes sur les partitions Le nombre E n {\displaystyle E_{n}} s'exprime comme somme sur les partitions paires de 2 n {\displaystyle 2n} [ 2] :
E n = ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ n ( K k 1 , … , k n ) δ n , ∑ m k m ( − 1 2 ! ) k 1 ( − 1 4 ! ) k 2 ⋯ ( − 1 ( 2 n ) ! ) k n , {\displaystyle E_{n}=(-1)^{n}(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}~\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left({\frac {-1~}{2!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {-1~}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {-1~}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},} et aussi comme somme sur les partitions impaires de 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} [ 3] :
E n = − ( 2 n − 1 ) ! ∑ 0 ≤ k 1 , … , k n ≤ 2 n − 1 ( K k 1 , … , k n ) δ 2 n − 1 , ∑ ( 2 m − 1 ) k m ( − 1 1 ! ) k 1 ( 1 3 ! ) k 2 ⋯ ( ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ) k n , {\displaystyle E_{n}=-(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left({\frac {-1~}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},} où, dans les deux cas, K = k 1 + ⋯ + k n {\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{n}} et
( K k 1 , … , k n ) ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}} est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux k i {\displaystyle k_{i}} tels que 2 k 1 + 4 k 2 + ⋯ + 2 n k n = 2 n {\displaystyle 2k_{1}+4k_{2}+\cdots +2nk_{n}=2n} et k 1 + 3 k 2 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) k n = 2 n − 1 {\displaystyle k_{1}+3k_{2}+\cdots +(2n-1)k_{n}=2n-1} , respectivement.
Par exemple,
E 5 = − 10 ! ( − 1 10 ! + 2 2 ! 8 ! + 2 4 ! 6 ! − 3 2 ! 2 6 ! − 3 2 ! 4 ! 2 + 4 2 ! 3 4 ! − 1 2 ! 5 ) = − 9 ! ( − 1 9 ! + 3 1 ! 2 7 ! + 6 1 ! 3 ! 5 ! + 1 3 ! 3 − 5 1 ! 4 5 ! − 10 1 ! 3 3 ! 2 + 7 1 ! 6 3 ! − 1 1 ! 9 ) = 50 521. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{5}&=-10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!8!}}+{\frac {2}{4!6!}}-{\frac {3}{2!^{2}6!}}-{\frac {3}{2!4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=-9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}7!}}+{\frac {6}{1!3!5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}5!}}-{\frac {10}{1!^{3}3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=50\,521.\end{aligned}}}
Avec un déterminant E n {\displaystyle E_{n}} est aussi donné par le déterminant[réf. souhaitée] :
E n = ( 2 n ) ! | 1 2 ! 1 1 4 ! 1 2 ! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 ( 2 n − 2 ) ! 1 ( 2 n − 4 ) ! 1 2 ! 1 1 ( 2 n ) ! 1 ( 2 n − 2 ) ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
Voir aussi
Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Euler number » (voir la liste des auteurs) .
↑ Alain Bouvier , Michel George et François Le Lionnais , Dictionnaire des mathématiques , Paris, PUF , 1993 , 955 p. (ISBN 2-13-045491-7 ) , p. 318 . Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh (x ), pour lequel les coefficients ont des signes alternés. ↑ (en) David C. Vella , « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers , vol. 8, no 1, 2008 , A1 (lire en ligne) . ↑ (en) (en) Jerome Malenfant, « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », version v6 , 2011 . Portail de l'analyse