Polynôme secondaire

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En mathématiques, un polynôme secondaire est une expression mathématique apparentant au groupe des polynômes.

Introduction et définition

On se place sur l'espace de Hilbert L 2 ( I , R , ρ ) {\displaystyle L^{2}(I,\mathbb {R} ,\rho )} où I {\displaystyle I} est un intervalle de R {\displaystyle \mathbb {R} } et ρ {\displaystyle \rho } la densité de la mesure.

Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux ( P n ) n ∈ N {\displaystyle \left(P_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} sont les polynômes ( Q n ) n ∈ N {\displaystyle \left(Q_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} obtenus par la relation :

Q n ( X ) = ∫ I P n ( t ) − P n ( X ) t − X ρ ( t ) d t {\displaystyle Q_{n}(X)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(X)}{t-X}}\rho (t){\text{d}}t}

Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les P n {\displaystyle P_{n}}  :

si P n {\displaystyle P_{n}} s'écrit : P n ( X ) = α n X n + α n − 1 X n − 1 + ⋯ + α 1 X + α 0 {\displaystyle P_{n}(X)=\alpha _{n}X^{n}+\alpha _{n-1}X^{n-1}+\cdots +\alpha _{1}X+\alpha _{0}}

alors la relation de récurrence est :

X P n ( X ) = α n α n + 1 P n + 1 ( X ) + ( β n α n − β n + 1 α n + 1 ) P n ( X ) + α n − 1 | | P n | | 2 α n | | P n − 1 | | 2 P n − 1 ( X ) {\displaystyle XP_{n}(X)={\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}P_{n+1}(X)+\left({\frac {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}-{\frac {\beta _{n+1}}{\alpha _{n+1}}}\right)P_{n}(X)+{\frac {\alpha _{n-1}||P_{n}||^{2}}{\alpha _{n}||P_{n-1}||^{2}}}P_{n-1}(X)}

Polynômes secondaires des polynômes orthogonaux classiques

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Voir aussi

Les polynômes secondaires sont à la base de la théorie des mesures secondaires.

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