Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 ^[1] .

Tout nombre réel x₀ strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

${\displaystyle x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)},}$

où les ${\displaystyle a_{n}}$ sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n ${\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}^{2}}$, et ${\displaystyle a_{n}\geqslant 2}$ pour n assez grands^[2],[3].

On définit les nombres suivants, où ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ représente la partie entière de x :

${\displaystyle a_{0}=\left\lfloor {\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right\rfloor ,\ x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}}$.

De ${\displaystyle a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}}$ on déduit aisément que x₁ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right\rfloor ,\ x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$.

• Pour tout entier ${\displaystyle a\geqslant 2}$, ${\displaystyle {\frac {a}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a^{2^{n}}}}\right)}}$ ; la suite ${\displaystyle (a_{n})=(a^{2^{n}})}$ vérifie bien ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots }$, avec ${\displaystyle a_{0}=3}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$ , voir la suite A001601 de l'OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)^[2],[3].

• Plus généralement, Pour tout entier ${\displaystyle a\geqslant 2}$, ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a+1}{a-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}}$, avec ${\displaystyle a_{0}=a}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$ ^[2],[3].

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

(de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte, Berlin, 1921 (lire en ligne), p. 122-127

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