Produit infini de Cantor
En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 [1] .
Énoncé du théorème de décomposition
Tout nombre réel x0 strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :
où les sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n , et pour n assez grands[2],[3].
Construction du produit
On définit les nombres suivants, où représente la partie entière de x :
- .
De on déduit aisément que x1 > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :
- .
Caractérisation des nombres rationnels[2],[3].
Théorème — est un nombre rationnel si et seulement si à partir d'un certain rang.
Exemples
- Pour tout entier , ; la suite vérifie bien .
- , avec et , voir la suite A001601 de l'OEIS.
D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)[2],[3].
- Plus généralement, Pour tout entier , , avec et [2],[3].
L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.
Notes et références
- ↑ (de) Georg Cantor, « Zum Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produkte », Zeitschrift für Mathematik und Physik, , p. 152-158 (lire en ligne)
- ↑ a b c et d Daniel Duverney, Théorie des nombres, Dunod, , p. 13-15
- ↑ a b c et d (en) Daniel Duverney, Number Theory : An Elementary Introduction Through Diophantine Problems (traduction du précédent), World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), , 335 p. (ISBN 978-981-4307-46-8, lire en ligne), p. 15-18.
(de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte, Berlin, (lire en ligne), p. 122-127
Articles connexes
- Fraction continue
- Système de numération à bases de Cantor
- Développement en série de Engel
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