En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable
en fonction de la dérivée de
. Autrement dit, si
est la réciproque de
, et que
si et seulement si
, alors dans la notation de Lagrange,
.
Cette formule vaut dès lors que
est continue et injective sur un intervalle
,
étant dérivable en
(
) avec
.
Démonstration
Démonstration analytique
Soient
et
deux fonctions dérivables réciproques, avec
. Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}\\[5pt]&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec0f7f6c74796ae9567f1d1a7650c7e7eb10723)
Or,
est continue, donc
tend vers
lorsque
tend vers
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {y-y_{0}}{f\left(y\right)-f\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc3c1443b8a80e15c1f8e20563224a938042c5f)
Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées
Soient
et
deux fonctions dérivables réciproques, on a alors :
.
Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :
.
Donc, en isolant
, on déduit :
.
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