En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :
- la représentation adjointe d'un groupe de Lie sur son algèbre de Lie,
- la représentation adjointe d'une algèbre de Lie sur elle-même.
Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.
Définition
Soient :
, un groupe de Lie ;
, l'élément identité de
;
, l'algèbre de Lie de
;
l'automorphisme intérieur de
sur lui-même, donné par
.
Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie
sur son algèbre de Lie
est :
.
Remarques :
- la représentation adjointe
est un morphisme de groupes :
;
- pour tout
, la représentation adjointe de
est un isomorphisme d'algèbres :
.
Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie
sur elle-même est :
.
Remarques :
- la structure d'algèbre
sur l'espace tangent
peut être définie à partir de la représentation adjointe
via :
;
- puisque le crochet de Lie
satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe
est un morphisme d'algèbres :
.
Lorsque G est un groupe matriciel
Supposons que
est un groupe de Lie matriciel, e. g.
ou
, de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e. g.
ou
. Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}(\xi )=g\xi g^{-1},\qquad \forall g\in G,\;\forall \xi \in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8340465c42e7fccbe8a76250f8ff97c5f00d828f)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{\xi _{1}}(\xi _{2})=[\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925b7fdb7804e22202b6e00b4d66540d9f81c2b4)
où
est ici le commutateur de matrices.
La forme de Killing est définie par :
.
La forme de Killing est
-invariante :
.
Ainsi, elle vérifie de plus :
.
Régularité de la représentation adjointe
Si
est un groupe de Lie de classe
, l'application adjointe
est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation
est différentiable. Mais par définition de
, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de
. En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
Livre
(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963
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