En géométrie algébrique, le produit de deux schémas (plus exactement de deux schémas au-dessus d'un même schéma de base) est l'équivalent des produits d'anneaux, d'espaces vectoriels, d'espaces topologiques… C'est un outil de base pour construire des schémas, faire du changement de bases etc.
Définition
On fixe un schéma
(appelé schéma de base) et on considère la catégorie des
-schémas. Soient
deux
-schémas. En langage catégoriel, le produit (fibré) de
au-dessus de
est simplement le produit fibré de
,
dans la catégorie des
-schémas. En terme plus concret, le produit fibré de
au-dessus de
est la donnée d'un
-schéma noté
, et des morphismes (morphismes de projection)
,
vérifiant la propriété universelle suivante:
- pour tout
-schéma
et pour tout couple de morphismes de
-schémas
et
, il existe un unique morphisme
tel que
et
.
Proposition — Le produit fibré
existe et est unique à isomorphisme unique près.
Comme toute solution d'un problème universelle, l'unicité découle immédiatement de la définition. L'existence se prouve en se ramenant au produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un schéma affine. On utilise alors le fait que le produit tensoriel de deux algèbres au-dessus d'un anneau commutatif unitaire
est la somme dans la catégorie des
-algèbres, catégorie opposée de la catégorie des
-schémas affines.
Notation. On note généralement le produit fibré par
, les morphismes de projection étant sous-entendus. Si
est affine, on peut remplacer
par
dans la notation. Le morphisme
dans la propriété universelle ci-dessus se note
.
Premières propriétés
- Pour tout
-schéma
, l'application
définie par
est bijective.
- Si
et
sont affines, alors
et les morphisme de projections
sont induits par les homomorphismes d'anneaux
,
définis respectivement par
et
. - Si
sont des parties ouvertes respectives de
, alors
, et les morphismes de projections de
sont juste les restrictions de
. - On a des isomorphismes canoniques
- Si
est un
-schéma, alors on a un isomorphisme canonique
Exemples
- Si
sont des algèbres au-dessus d'un corps
. Alors
est le
-schéma affine associé à la
-algèbre
. - Si
et
, alors
. Donc
. - Si
et
, alors
est le quotient de
par l'idéal engendré par
.
- Le produit de la droite projective
par elle-même n'est pas isomorphe au plan projectif
. Ce produit est isomorphe à la quadratique
de
. Plus généralement, le produit de deux variétés projectives est une variété projective (plongement de Segre).
est une variété algébrique sur
qui a exactement deux points, alors que chaque composante
n'en a qu'un.
Espace topologique sous-jacent
Les points de
ne sont pas les points du produit cartésien
en général (cf. l'exemple ci-dessus de
produit au-dessus de
avec lui-même). Pour les variétés algébriques sur un corps
, on a
Donc on a un bon contrôle des points rationnels. Cependant, même quand
est algébriquement clos et que l'on se restreint aux points fermés (les points fermés de
est en bijection avec le produit cartésien des points fermés de
et de
dans ce cas-là), la topologie de Zariski sur le produit
(produit cartésien) est strictement plus fine que la topologie produit en général. Par exemple, si
sont la droite affine sur
. Alors
est le plan affine
. L'ouvert de Zariski
(le complémentaire de la diagonale) ne contient aucun ouvert non vide de la forme
avec des ouverts
de
.
Changement de bases
Le concept du changement de bases est fondamental dans la théorie des schémas. Soit
un
-schéma. Soit
un morphisme de schémas. Alors le produit fibré
muni de la deuxième projection
est un
-schéma, et on dit qu'il est obtenu par le changement de bases
. Le
-schéma ainsi obtenu est noté
. Plus généralement, si
est un morphisme de
-schémas, le produit fibré par
induit un morphisme
de
-schémas.
- Par exemple, si
est un homomorphismes d'anneaux (commutatifs unitaires), l'espace affine
peut être construit à partir de
en considérant le changement de bases
. - Si
est une extension de corps,
devient, après changement de bases
,
. - Similairement,
devient
.
Dans ces deux exemples, le changement de base est donné par une extension de corps. On parle alors d'extension du corps de base ou d'extensions des scalaires. Par exemple, une conique projective non singulière devient isomorphisme à la droite projective après une extension quadratique séparable du corps de base.
- Si
est une variété algébrique sur un corps
et si
est une extension. Alors
est l'ensemble des points rationnels de
.
Fibres d'un morphisme
Soit
un morphisme de schémas. Soit
un point. Ensemblistement, la fibre de
en
est le sous-ensemble
de
. Le produit fibré permet de munir canoniquement ce sous-ensemble d'une structure de schéma. En effet, on a un morphisme canonique
, où
est le corps résiduel de
en
. Soit
. C'est un
-schéma par la seconde projection. On montre que la projection
induit un homéomorphisme de
sur
. Le
-schéma
est appelé la fibre de
en
. Le
-schéma
peut alors être vu comme la famille des
-schémas, lorsque
parcourt les points de
.
Si
est irréductible de point générique
, la fibre
est appelée la fibre générique de
. Si
est un point fermé de
, la fibre
est appelée une fibre fermée (ou la fibre spéciale lorsque
est le spectre d'un anneau de valuation discrète).
- Exemples
- Les fibres du morphisme structural de l'espace affine
sur
sont des espaces affines
. - Soit
où
est un nombre premier fixé. C'est un
-schéma. Sa fibre générique est isomorphe à la droite affine moins l'origine sur le corps des rationnels car
est inversible dans
. De même sa fibre en tout premier
(correspondant donc à l'idéal premier
) est isomorphe à la droite affine moins l'origine sur le corps fini
à
éléments. En revanche, sa fibre en
, égale à
est la réunion de deux droites affines sur
se coupant transversalement en un point. Cette fibre n'est pas réduite car la classe de
dans le quotient est nilpotent et non nulle. - Soit
une extension de corps de nombres et soient
leurs anneaux d'entiers respectifs. Soit
induit par l'inclusion des anneaux d'entiers. Alors l'extension
est non ramifiée au-dessus d'un idéal premier
de
si et seulement si la fibre de
en
est un schéma réduit. - Si
est une courbe elliptique sur
, son équation de Weierstrass minimale définit un schéma projectif sur
(qui est
). Sa fibre en un nombre premier
(vu comme le point
de
) est une courbe projective sur le corps premier
et est appelée la (ou plutôt une) réduction de
mod
.
Portail des mathématiques