Sommation de Mittag-Leffler
En mathématiques, la sommation de Mittag-Leffler est une variante de la sommation de Borel pour sommer certaines séries entières divergentes, qui fut introduite par Gösta Mittag-Leffler[1].
Définition
Soit
une série formelle de la variable z.
On définit la transformée de y par[2] :
La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :
Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit[3] : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de y est donnée par
Lorsque α = 1, on retrouve la sommation de Borel.
Références
- ↑ G. Mittag-Leffler, « Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe », dans Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908), vol. I, (lire en ligne), p. 67-86.
- ↑ (en) I. I. Volkov, « Mittag-Leffler summation method », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- ↑ (en) Giovanni Sansone et Johan Gerretsen, Lectures on the Theory of Functions of a Complex Variable, vol. I : Holomorphic Functions, Groningen, P. Noordhoff, (MR 0113988).
Voir aussi
Fonction de Mittag-Leffler
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