Spectre de Lagrange

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le spectre de Lagrange est un ensemble de nombres réels apparaissant dans la théorie de l'approximation diophantienne. Le spectre de Markov, défini par Andreï Markov, est une variante de cet ensemble jouant un rôle dans l'étude de l'équation diophantienne de Markov.

Le théorème de Hurwitz affirme que tout réel ξ peut être approché par une suite de rationnels m/n telle que

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$

Plus précisément, on définit L(ξ) comme la borne supérieure des c ayant la même propriété que √5 dans cette formule (si elle existe, c'est-à-dire si ξ est irrationnel et de mesure d'irrationalité égale à 2), autrement dit L(ξ) est la borne supérieure des c tels qu'il existe une suite de rationnels m/n ayant pour limite ξ et telle que

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{cn^{2}}}}$ ;

l'ensemble des L(ξ) (pour ξ irrationnel) forme le spectre de Lagrange L^[1]. Le théorème de Hurwitz montre que ${\displaystyle {\sqrt {5}}=L\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$ est le plus petit élément de L, et plus précisément encore que les seuls nombres ξ pour lesquels L(ξ)=√5 sont les nombres équivalents au nombre d'or ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ; Hurwitz a également démontré que l'élément suivant de L, obtenu en excluant les nombres précédents, est 2√2=L(√2). Plus généralement, ce procédé définit une suite de nombres L_n appelés nombres de Lagrange ; il s'agit de la suite ${\displaystyle \left({\sqrt {5}},2{\sqrt {2}},{\frac {\sqrt {221}}{5}},{\frac {\sqrt {1517}}{13}},\dots \right)}$, de limite 3 et formant la partie du spectre de Lagrange inférieure à 3.

Une formulation équivalente, mais plus pratique, en termes de limites inférieures, revient à dire que :

${\displaystyle 1/L(\xi )=\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

où m est l'entier (dépendant de n) rendant la différence minimale.

Partant du développement en fraction continue de ξ,

${\displaystyle \xi =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}=[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ],}$

on introduit la suite de nombres ${\displaystyle \xi _{n}=x_{n}+r_{n}}$, où ${\displaystyle x_{n}=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\cdots ]}$ s'obtient en retirant les n premiers termes du développement de ξ et ${\displaystyle r_{n}=[0,a_{n-1},a_{n-2},\cdots ,a_{0}]}$ est le rationnel obtenu en prenant les termes retirés, dans l'ordre inverse. On a alors ${\displaystyle L(\xi )=\limsup _{n\to \infty }\xi _{n}}$.

Si l'on remplace dans cette définition la limite supérieure par la borne supérieure, on obtient un nouvel ensemble de nombres M(ξ), le spectre de Markov M, défini par Andreï Markov en 1879 dans le cadre de son étude des formes quadratiques^[2] :

${\displaystyle M(\xi )=\sup _{n\to \infty }\xi _{n}.}$

La définition précédente peut s'interpréter géométriquement à l'aide de l'étude de la position de droites de pente ξ par rapport au réseau des points de coordonnées entières^[3]. Markov en a déduit les deux caractérisations suivantes :

On considère l'ensemble des formes quadratiques  ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ à coefficients réels, de discriminant fixé ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=1}$^[4]. Pour chacune de ces formes, la borne supérieure des valeurs absolues des inverses des valeurs non nulles prises en un point du réseau ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ appartient au spectre de Markov ; plus précisément

${\displaystyle M=\left\{\left(\sup _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}1/|f(x,y)|\right):f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$^[5].

Les nombres de Markov sont les entiers naturels x, y ou z faisant partie d'une solution de l'équation diophantienne de Markov : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz}$, formant la suite (1,2,5,13,34,89,...) (suite A002559 de l'OEIS). Markov a démontré que le n-ème nombre de Lagrange, L_n, est donné par la formule ${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}}$, où m_n est le n-ème nombre de Markov.

Le spectre de Lagrange est inclus dans celui de Markov, et ils sont identiques dans leur partie initiale comprise entre √5 et 3 (commençant par √5, √8, √221/5, √1517/13^[6]...). Le spectre de Lagrange est continu à partir de sa dernière discontinuité, la constante de Freiman, un nombre dont la valeur exacte est

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$ (suite A118472 de l'OEIS),

c'est-à-dire que ${\displaystyle [F,+\infty [\subset L\subset M}$ et que pour tout x<F, il existe y non dans L tel que x<y<F^[7],[8]. L est en fait strictement inclus dans M, mais on ignore, par exemple, la valeur du plus petit élément de M qui n'est pas dans L^[9].

La transition entre la partie discrète de L (entre √5 et 3) et la partie continue (après F) a une structure fractale, décrite plus précisément par le théorème suivant^[10] :

Pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, la dimension de Hausdorff de ${\displaystyle L\cap (-\infty ,t)}$ est égale à celle de ${\displaystyle M\cap (-\infty ,t)}$. Si d est la fonction ${\displaystyle d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))}$ associant à t cette dimension, alors d est continue, croissante, et envoie R sur [0,1].

Ce théorème se généralise d'ailleurs à d'autres spectres analogues^[11].

Les définitions de L et de M à l'aide de développements en fractions continues amènent naturellement à les faire correspondre à un système dynamique : l'ensemble ${\displaystyle S=({\mathbb {N} }^{*})^{\mathbb {Z} }}$ des suites (infinies dans les deux directions) d'entiers non nuls, muni de l'opérateur de décalage ${\displaystyle \sigma :S\mapsto S}$ défini par ${\displaystyle \sigma ((a_{n})_{n\in \mathbb {Z} })=(a_{n+1})_{n\in \mathbb {Z} }}$. Associant alors à chaque suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ de S le réel défini par la somme des développements en fractions continues ${\displaystyle f((a_{n})_{n\in \mathbb {Z} })=[a_{0},a_{1},a_{2},\dots ]+[0,a_{-1},a_{-2},\dots ]}$, les résultats donnés plus haut montrent^[12] que

${\displaystyle L=\left\{\limsup _{n\to \infty }f(\sigma ^{n}(a)):a\in S\right\}}$ et

${\displaystyle M=\left\{\lim _{n\in \mathbb {N} }f(\sigma ^{n}(a)):a\in S\right\}}$.

La géométrie des spectres (c'est-à-dire, par exemple, la dimension de Hausdorff de la restriction du spectre à un intervalle donné) peut alors être étudiée à l'aide d'outils venant de cette théorie, comme les partitions de Markov (en)^[13].

• Nombre de Markov

• Serge Perrine, Approximation diophantienne (théorie de Markov), Université de Lorraine, 1988 (lire en ligne).
• (en) John Cassels, An introduction to Diophantine approximation, CUP, coll. « Cambridge Tracts » (n^o 45), 1957 (lire en ligne)
• (en) Caroline Series, « The Geometry of Markoff Numbers », The Mathematical Intelligencer,‎ 1985 (lire en ligne)
• (en) Thomas W. Cusick et Mary E. Flahive, The Markov and Lagrange Spectra, vol. 30, American Mathematical Society, 1989, 97 p. (ISBN 978-0-8218-1531-1, lire en ligne).
• (en) John Horton Conway et Richard Guy, The Book of Numbers, Springer, pp. 188–189, 1996.
• (en) Carlos Moreira, « Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra », arXiv,‎ janvier 2017 (lire en ligne)
• (en) Sergio Ibarra et Carlos Moreira, « On the Lagrange and Markov dynamical spectra », Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol. 37, n^o 5,‎ août 2017, p. 1570–1591 (ISSN 0143-3857, DOI 10.1017/etds.2015.121, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Markov spectrum » (voir la liste des auteurs).

• (en) « Markov spectrum problem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres