Théorème d'extension de Carathéodory

Théorème d'extension de Carathéodory — 

Toute mesure sur un anneau d'ensembles admet au moins un prolongement à la tribu engendrée par cet anneau.

Si la mesure sur l'anneau est sigma-finie, ce prolongement est unique.

Notations et définition — Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure définie sur un anneau d'ensembles ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$.

On note ${\displaystyle \mu ^{*}}$ la fonction d'ensembles définie pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$ par :

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mathrm {inf} \left\{\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\infty }E_{k}\right\}.}$

On note ensuite ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ l'ensemble des parties ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ qui vérifient la propriété suivante :

pour tout ${\displaystyle E\subset X}$, ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$.

On note enfin ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ la restriction de ${\displaystyle \mu ^{*}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$, et on l'appelle l'extension de Carathéodory de ${\displaystyle \mu }$.

Théorème — Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure définie sur un anneau d'ensembles ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$. Alors :

• ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}}_{\mu },{\overline {\mu }})}$ est un espace mesuré ;
• la mesure ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ est un prolongement de ${\displaystyle \mu }$ ;
• la mesure ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ est complète ;
• si ${\displaystyle \mu }$ est de surcroît σ-finie, ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ est la complétée de sa restriction à la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ;
• si ${\displaystyle \mu }$ est σ-finie, la restriction de ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ à la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est l'unique prolongement de ${\displaystyle \mu }$ à cette tribu engendrée.

Compléments — 

• Si ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ est un anneau d'ensembles qui vérifie :

${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {R}}_{1}\subset {\mathcal {M}}_{\mu }}$

et si on note ${\displaystyle \nu }$ la restriction de ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$, ${\displaystyle \nu ^{*}=\mu ^{*}}$. En particulier, ${\displaystyle {\overline {\overline {\mu }}}={\overline {\mu }}}$ ;

• même lorsque ${\displaystyle \mu }$ n'est pas σ-finie, pour tout ${\displaystyle B}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ il existe un ${\displaystyle A}$ dans la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ avec :

${\displaystyle B\subset A}$ et ${\displaystyle {\overline {\mu }}(B)={\overline {\mu }}(A)}$

(on dit que ${\displaystyle A}$ est une couverture mesurable de ${\displaystyle B}$).