Théorème de Synge

Supposons M orientable et de dimension paire et raisonnons par l'absurde. Supposons que M ne soit pas simplement connexe. Alors M possède une géodésique fermée minimisant la longueur dans sa classe d'homotopie libre. Soient ${\displaystyle p:=\gamma (0)}$ et ${\displaystyle \theta :T_{p}M\rightarrow T_{p}M}$ le transport parallèle le long de ${\displaystyle \gamma }$. Cette application ${\displaystyle \theta }$ est une isométrie linéaire ayant un point fixe, à savoir ${\displaystyle \gamma '(0)=\gamma '(L)}$. Comme la dimension de M est paire, l'orthogonal de ${\displaystyle \gamma '(0)}$ est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension impaire sur lequel ${\displaystyle \theta }$ définit une isométrie linéaire. En particulier, les questions de réductions montrent l'existence d'un vecteur orthogonal ${\displaystyle v}$ (choisi unitaire), tel que : ${\displaystyle \theta v=v}$.

Le transport parallèle de ${\displaystyle v}$ le long de ${\displaystyle \gamma }$ donne une section globale ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle \gamma ^{*}TM\rightarrow S^{1}}$. Introduisons une variation ${\displaystyle c_{s}}$ de lacets ${\displaystyle L}$-périodiques, avec ${\displaystyle c_{0}=\gamma }$ et ${\displaystyle \partial _{s}c_{s}|_{s=0}=V}$. La formule de la variation seconde donne :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}longc_{s}}{\partial s^{2}}}=-\int _{0}^{L}K(\gamma '(t),V(t))dt<0}$

D'où une contradiction avec le choix de ${\displaystyle \gamma }$, donc M est simplement connexe.

Pour la seconde affirmation, il suffit de considérer un revêtement double orientable de M.