Théorème de Zsigmondy

En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, portant le nom de Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise aⁿ − bⁿ et ne divise pas a^k − b^k pour 0 < k < n, avec les exceptions suivantes^[1] :

• n = 1, a − b = 1 ; dans ce cas aⁿ − bⁿ = 1 n'a pas de diviseurs premiers ;
• n = 2, et a + b une puissance de deux ; dans ce cas n'importe quel facteur premier impair de a² − b² = (a + b)(a¹ − b¹) doit être contenu dans a¹ − b¹, qui est aussi pair ;
• n = 6, a = 2, b = 1 ; alors, a⁶ − b⁶ = 63 = 3²×7 = (a² − b²)²(a³ − b³).

Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si n > 1 et n différent de 6, alors 2ⁿ − 1 a un diviseur premier qui ne divise 2^k − 1 pour aucun k < n.

De même, aⁿ + bⁿ a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de 2³ + 1³ = 9.

Le théorème de Zsigmondy est souvent utile, en particulier en théorie des groupes, où il est utilisé pour démontrer que différents groupes ont des ordres distincts, sauf quand ils sont égaux.^[pas clair]

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Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.

Soit ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1\mid a_{n}{\text{ n'a pas de diviseur premier primitif}}\}}$,

c'est-à-dire l'ensemble des indices ${\displaystyle n}$ tels que tout nombre premier divisant ${\displaystyle a_{n}}$ divise aussi ${\displaystyle a_{m}}$ pour un certain ${\displaystyle m<n}$. Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$, et le théorème de Carmichael énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$, et celui de la suite de  Pell est ${\displaystyle \{1\}}$. En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier^[2] ont prouvé qu'en général, si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ est une suite de Lucas ou une suite de Lehmer (en), alors ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subset \left[1,30\right]}$.

• (en) Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski et Thomas Ward, Recurrence sequences, Providence (RI), AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (n^o 104), 2003 (ISBN 0-8218-3387-1, zbMATH 1033.11006), p. 103-104
• (en) Walter Feit, « On Large Zsigmondy Primes », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 102, n^o 1,‎ 1988, p. 29-36 (DOI 10.2307/2046025, JSTOR 2046025)
• (en) Moshe Roitman, « On Zsigmondy Primes », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 125, n^o 7,‎ 1997, p. 1913-1919 (DOI 10.1090/S0002-9939-97-03981-6, JSTOR 2162291)
• (de) Th. Schmid, « Karl Zsigmondy », Jahresber. DMV, vol. 36,‎ 1927, p. 167-168 (lire en ligne)
• (de) K. Zsigmondy, « Zur Theorie der Potenzreste », Monatshefte für Mathematik, vol. 3, n^o 1,‎ 1892, p. 265-284 (DOI 10.1007/BF01692444)

(en) Eric W. Weisstein, « Zsigmondy Theorem », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres