Théorème de densité de Tchebotariov

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit^[1] théorème de Chebotarev^[2], précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q).

Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne ${\displaystyle L/K}$ de corps de nombres, de groupe de Galois ${\displaystyle G}$. Pour tout idéal entier ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ de ${\displaystyle K}$, on note ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=\left|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}\right|}$ la norme de ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Considérons un idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ de ${\displaystyle K}$ non ramifié dans ${\displaystyle L}$, et soit ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$ un idéal premier de ${\displaystyle L}$ au-dessus de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

On montre qu'il existe un unique élément ${\displaystyle \sigma _{\mathfrak {P}}\in G}$ caractérisé par la relation suivante : pour tout élément ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{L}}$, on a

${\displaystyle \sigma _{\mathfrak {P}}(\alpha )\equiv \alpha ^{{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})}{\pmod {\mathfrak {P}}}.}$

Si ${\displaystyle G}$ n'est pas abélien, cela dépend du choix de ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ : en effet, si ${\displaystyle {\mathfrak {P'}}}$ est un autre idéal premier au-dessus de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, il existe un élément ${\displaystyle \sigma \in G}$ tel que ${\displaystyle {\mathfrak {P'}}=\sigma ({\mathfrak {P}})}$, et alors ${\displaystyle \sigma _{\mathfrak {P'}}}$ et ${\displaystyle \sigma _{\mathfrak {P}}}$ sont conjugués dans ${\displaystyle G}$.

On considère alors la classe de conjugaison ${\displaystyle \{\sigma _{\mathfrak {P}},\,{\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}\}}$, que l'on nomme symbole de Frobenius de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ dans ${\displaystyle L/K}$, encore noté (par abus) ${\displaystyle \sigma _{\mathfrak {p}}}$. Remarquons que, si ${\displaystyle G}$ est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème que Tchebotariov démontra dans sa thèse en 1922 :

La version quantitative du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de ℚ.

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