Théorème du sandwich au jambon
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En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon, ou théorème de Stone-Tukey, s'exprime, de façon imagée, comme la possibilité de couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich[1]. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque.
Énoncé
Étant donné n parties[2] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[1].
Historique
Le théorème est parfois appelé théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone et John Tukey[3]. Hugo Steinhaus avait conjecturé ce théorème dans le Livre écossais. Il a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[4].
Démonstration
Soient les n parties de , de mesures finies , que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour , des solides de Platon en orange et rouge, la solution est ici le plan défini par les trois centres).
Ayant fixé un vecteur de la sphère , on considère, pour tout réel , l'hyperplan affine orthogonal à passant par , et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant . Le volume de l'intersection de et de ce demi-espace est une fonction continue de et vérifie :
Comme de plus est une fonction décroissante de , qui tend vers 0 quand tend vers et vers quand tend vers , l'ensemble des réels tels que est un segment non vide qui vérifie . Son milieu est donc une fonction continue impaire de vérifiant pour toute direction .
Par composition, la fonction
est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction telle que . Pour un tel , l'hyperplan orthogonal à et passant par coupe les pour en deux morceaux de même mesure car
Ainsi, est vrai pour par choix de et pour par définition de .
Notes et références
- ↑ a et b (en) Jiří Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem : Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, , 196 p. (ISBN 978-3-540-00362-5, lire en ligne), p. 47.
- ↑ Les n parties ne sont pas supposées connexes : dans le sandwich, les deux tranches de pain constituent une partie.
- ↑ (en) A. H. Stone et J. W. Tukey, « Generalized “sandwich” theorems », Duke Mathematical Journal, vol. 9, no 2, , p. 356-359 (DOI 10.1215/S0012-7094-42-00925-6).
- ↑ (en) W. A. Beyer et Andrew Zardecki, « The early history of the ham sandwich theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 111, , p. 58-61 (JSTOR 4145019, lire en ligne).
Lien externe
(en) Ham sandwich theorem and a proof, sur PlanetMath
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