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La théorie de Kirchhoff est une théorie de la diffraction qui permet, à l'aide du théorème de Green, de donner une formulation mathématique au principe de Huygens-Fresnel et de modéliser la propagation d'une onde à travers des ouvertures diffractantes. Elle a été introduite par le physicien Gustav Kirchhoff (1824-1887).
Théorème intégral de Kirchhoff
Quelle que soit la nature de l'onde, pour une perturbation sinusoïdale (harmonique ou monochromatique selon le domaine) représentée par le champ qui est solution de l'équation d'onde, le théorème intégral de Kirchhoff[1] permet d'exprimer la valeur du champ en un point en fonction du champ et de son gradient sur une surface incluant le point :
.
Démonstration
La perturbation sinusoïdale (monochromatique ou harmonique, selon le domaine) d'une grandeur scalaire physique (totale) autour d'une valeur moyenne , se propage à la vitesse de façon ondulatoire si cette grandeur respecte l'équation d'onde :
.
Elle peut être écrite sous la forme : . L'équation d'onde peut alors prendre une expression plus simple, nommée équation de Helmoltz :
Si et sont solutions de l'équation de Helmoltz ( et ) , alors et
.
Notations utilisées.
En posant , partie spatiale de , et , elle-même solution de l'équation de Helmoltz, et en appliquant le résultat précédent au volume contenu entre une petite sphère de centre , et une surface fermée qui englobe la sphère , on peut écrire :
.
En coordonnées sphériques, est orienté dans le sens de : .
En observant que
,
d'où
,
et en faisant tendre la sphère vers le point , sur toute la surface de la sphère et , l'intégrale sur la sphère s'exprime :
.
Ceci aboutit enfin à l'expression du théorème intégral de Kirchhoff :
.
Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff
Notations utilisées.
La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[1] fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point causée par une source ponctuelle en un point émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soit négligeable devant les distances de propagation :
,
avec nommé facteur d'oblicité ou facteur d'inclinaison.
Démonstration
Le champ issu d'une source ponctuelle est tel que où est la distance à la source. On suppose que la surface d'intégration est telle que et , les gradients peuvent alors être simplifiés :
,
et
.
La surface étudiée est quelconque mais fermée et de sorte que l'intégrale devienne :
,
ce qui mène à la formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff :
.
Cas d'une ouverture diffractante
Notations utilisées.
On effectue l'intégration sur les surfaces :
la calotte sphérique du faisceau qui pénètre par l'ouverture ; le champ scalaire y est identique en tout point, et y sont de même direction et de sens opposé ;
sur les bords du faisceau, mais on considère son influence négligeable dès lors que la taille de l'ouverture est petite devant le rayon du front d'onde ;
la partie non éclairée de l'obstacle ; le champ y est considéré nul ;
une demi sphère de rayon tendant vers l'infini de sorte de le champ y soit nul (à la seule condition que son amplitude décroisse avec la distance).
Si alors le facteur d'oblicité sur , seule surface qui intervient dans le calcul, est :
.
Ce facteur indique que la diffraction se fait préférentiellement dans les sens de la propagation, tout particulièrement il montre le non-retour de l'onde lors de la diffraction .
Si l'onde incidente est considérée identique sur toute la surface l'ouverture, caractérisée par son coefficient de transmission , alors :
.
Dans le cas de l'étude de la diffraction en champ lointain (diffraction de Fraunhofer), l'angle est constant sur , le facteur d'oblicité est donc constant et peut être sorti de l'intégrale. En posant , on peut écrire :
.
Annexes
Bibliographie
Eugène Hecht (trad. de l'anglais), Optique, Paris, Pearson Education France, , 4e éd., 715 p. (ISBN2-7440-7063-7)