Transformée sans parfum

La transformée sans parfum est une méthode permettant de calculer les statistiques d’une variable aléatoire qui subit une transformation non linéaire ^[1],[2].

Elle est fondée sur l’idée qu’il est plus facile d’estimer une distribution gaussienne que d’approcher une fonction non linéaire ^[3].

Considérons le système non linéaire ${\displaystyle y=f(x)}$, avec ${\displaystyle x}$ une variable aléatoire de moyenne ${\displaystyle {\bar {x}}}$ de covariance ${\displaystyle P_{xx}}$ et ${\displaystyle y}$ une variable aléatoire de statistique à déterminer. Un ensemble de points est choisi de manière déterministe telle que sa moyenne et sa covariance soient respectivement ${\displaystyle {\bar {x}}}$ et ${\displaystyle P_{xx}}$.

Ces points nommées "points sigma" capturent la forme de la densité de probabilité de ${\displaystyle x}$ .

La fonction non linéaire ${\displaystyle f}$ est appliquée à chacun de ces points afin d’obtenir un nuage de points transformés de moyenne ${\displaystyle {\bar {y}}}$ et covariance ${\displaystyle P_{yy}}$.

La densité de probabilité de la variable aléatoire x de dimension n, de moyenne ${\displaystyle {\bar {x}}}$ et de covariance ${\displaystyle P_{xx}}$ est approchée par ${\displaystyle 2n+1}$ points pondérés donnés par :

${\displaystyle s_{0}={\bar {x}}}$

${\displaystyle s_{i}={\bar {x}}+({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}\quad i=1,..,n}$

${\displaystyle s_{i+n}={\bar {x}}-({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}\quad i=1,..,n}$

${\displaystyle W_{0}={\frac {\lambda }{(n+\lambda )}}}$

${\displaystyle W_{i}=W_{i+n}={\frac {1}{2(n+\lambda )}}\quad i=1,..,n}$

où ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle ({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}}$ est la ${\displaystyle i^{eme}}$ ligne ou colonne de la matrice racine carrée de ${\displaystyle (n+\lambda )P_{xx}}$ et ${\displaystyle W_{i}}$ est le poids associé au ${\displaystyle i^{eme}}$ point.

La procédure de transformation est la suivante :

1. Transformer chaque point ${\displaystyle \chi _{i}}$ par la fonction non linéaire ${\displaystyle f}$ afin d'obtenir l'ensemble des points transformés :${\displaystyle \Upsilon _{i}=f(\chi _{i})}$
2. La moyenne ${\displaystyle {\bar {y}}}$ est donnée par la moyenne pondérée des points transformés : ${\displaystyle {\bar {y}}=\sum _{i=0}^{2n}W_{i}\times \Upsilon _{i}}$
3. La matrice de covariance ${\displaystyle P_{yy}}$ est donnée par : ${\displaystyle P_{yy}=\sum _{i=0}^{2n}W_{i}(\Upsilon _{i}-{\bar {y}})(\Upsilon _{i}-{\bar {y}})^{T}}$

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