Transformée sans parfum
La transformée sans parfum est une méthode permettant de calculer les statistiques d’une variable aléatoire qui subit une transformation non linéaire [1],[2].
Elle est fondée sur l’idée qu’il est plus facile d’estimer une distribution gaussienne que d’approcher une fonction non linéaire [3].
Contexte
Considérons le système non linéaire , avec une variable aléatoire de moyenne de covariance et une variable aléatoire de statistique à déterminer. Un ensemble de points est choisi de manière déterministe telle que sa moyenne et sa covariance soient respectivement et .
Ces points nommées "points sigma" capturent la forme de la densité de probabilité de .
La fonction non linéaire est appliquée à chacun de ces points afin d’obtenir un nuage de points transformés de moyenne et covariance .
La densité de probabilité de la variable aléatoire x de dimension n, de moyenne et de covariance est approchée par points pondérés donnés par :
où , est la ligne ou colonne de la matrice racine carrée de et est le poids associé au point.
Procédure
La procédure de transformation est la suivante :
- Transformer chaque point par la fonction non linéaire afin d'obtenir l'ensemble des points transformés :
- La moyenne est donnée par la moyenne pondérée des points transformés :
- La matrice de covariance est donnée par :
Références
- ↑ E.A. Wan et R. Van Der Merwe, « The unscented Kalman filter for nonlinear estimation », Proceedings of the IEEE 2000 Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium (Cat. No.00EX373), , p. 153–158 (DOI 10.1109/ASSPCC.2000.882463, lire en ligne)
- ↑ S. Julier, J. Uhlmann et H.F. Durrant-Whyte, « A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators », IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no 3, , p. 477–482 (ISSN 1558-2523, DOI 10.1109/9.847726, lire en ligne)
- ↑ Cindy CAPPELLE, « Localisation de véhicules et détection d'obstacles Apport d'un modèle virtuel 3D urbain », Thèse de doctorat Université de Lille,
Portail des mathématiques