Transformation naturelle

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En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs.

Soient ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {D}}}$. Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$, d'un morphisme de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ :

${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$,

tel que pour tous objets X et Y de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et tout morphisme ${\displaystyle f}$ de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif  :

c'est-à-dire tel que :

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$,

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$, η_X est un isomorphisme, on dit que η est une « équivalence naturelle » ou un « isomorphisme naturel ».

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

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