Ackermann-halmazelmélet

Az Ackermann-halmazelmélet (rövidítés: A) egy alternatív halmazelmélet, amelyet Wilhelm Ackermann dolgozott ki és publikált 1956-ban.^[1] Ackermann axiómarendszere később a standard Zermelo-Fraenkel halmazelmélet konzervatív kiterjesztésének bizonyult.^[2] Az A elmélet osztályrealista, vagyis a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélethez (NBG) hasonlóan megengedi kötött osztályváltozók használatát.

Az A elmélet standard elsőrendű nyelvet használ két nem-logikai primitívummal: ${\displaystyle \in }$ kétargumentumú relációjel, M pedig egyargumentumú. A változók értékei a nyelv szándékolt interpretációjában osztályok. Az osztályok egy része halmaz, a többi valódi osztály. A változók alapértelmezésben nagybetűsek. „X${\displaystyle \in }$Y” szándékolt jelentése: „az X osztály eleme az Y osztálynak”; „M(X)” szándékolt jelentése: „az X osztály halmaz”.

A kisbetűs változókat halmazokra korlátozzuk. Meghatározásuk:

${\displaystyle \forall x\ \varphi (x)\ }$	${\displaystyle \ \Leftrightarrow }$def	${\displaystyle \forall X\ (M(X)\rightarrow \varphi (X))}$
${\displaystyle \exists x\ \varphi (x)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$def	${\displaystyle \exists X\ (M(X)\land \varphi (X))}$
${\displaystyle \varphi (x)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$def	${\displaystyle M(X)\land \varphi (X)}$

Az A elmélet axiómái:

Extenzionalitás: Különböző osztályok legalább egy elemükben eltérnek. Formulával:

${\displaystyle \forall X\ \forall Y\ (X=Y\ \leftrightarrow \ \forall Z\ (Z\in X\leftrightarrow Z\in Y))}$

Osztálykomprehenzió: Tetszőleges elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott formula tetszőleges paraméterekkel) meghatároz egy osztályt, amelynek elemei halmazok. Formulasémával:

${\displaystyle \forall U_{1}\dots \forall U_{n}\ \exists Y\ \forall X\ (X\in Y\ \leftrightarrow \ (M(X)\land \varphi (X,U_{1},\dots ,U_{n})))}$

(U₁, …, U_n a paraméterek; ${\displaystyle \varphi }$ tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,U₁, …, U_n változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; Y a tulajdonság által meghatározott osztály.)

Halmazkomprehenzió: Ha egy elsőrendű tulajdonság (X-ben nyitott nyitott formula)

1. összes paramétere halmazváltozó,
2. nem tartalmazza az M predikátumot és
3. az adott paraméterekkel csak halmazokra igaz,

akkor az általa meghatározott osztály halmaz. Formulasémával:

${\displaystyle \forall u_{1}\dots \forall u_{n}\ (\forall X\ (\varphi (X,u_{1},\dots ,u_{n})\rightarrow M(X))\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ \exists y\ \forall X\ (X\in Y\ \leftrightarrow \ (M(X)\land \varphi (X,u_{1},\dots ,u_{n}))))}$

(Itt u₁, …, u_n a paraméterek; ${\displaystyle \varphi }$ tetszőleges formulát rövidít, amelyben az X,u₁, …, u_n változókon kívül más változónak nincs szabad előfordulása; y a tulajdonság által meghatározott halmaz.)

Elemaxióma: Halmazok elemei halmazok. Formulával:

${\displaystyle \forall X\ \forall y\ (X\in y\rightarrow M(X))}$

Részhalmazaxióma: Halmazok részhalmazai halmazok. Formulával:

${\displaystyle \forall X\ \forall y\ (\forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in y)\rightarrow M(X))}$

Halmazregularitás: Ha egy halmaznak van eleme, akkor olyan eleme is van, amellyel nincs közös eleme. Formulával:

${\displaystyle \forall x\ (\exists y\ y\in x\ \rightarrow \ \exists y\ (y\in x\land \lnot \exists z\ (z\in x\land z\in y)))}$

Tekintsük az összes halmaz V osztályát:

${\displaystyle V=}$_def${\displaystyle \{x:x=x\}}$

Ha nem lennének valódi osztályok, akkor a tautologikus „X = X” tulajdonság csak halmazokra lenne igaz; következésképpen a halmazkomprehenziós séma miatt V halmaz volna. Később látni fogjuk, hogy ekkor V hatványosztálya is halmaz lenne; így előállna a Cantor-paradoxon. Következésképpen vannak valódi osztályok, és V egy közülük. (Ha a paradoxon kikényszerítésére törekedve V-t az {x: M(x)} absztrakcióval vezettük volna be, akkor az M jel szerepeltetése miatt nem lenne alkalmazható a halmazkomprehenzió.)

A példának van egy nagyon fontos következménye. Ha A-ban definiálható volna az M jel, akkor a definiáló formulára alkalmazhatnánk a halmazkomprehenziót, V tehát halmaznak bizonyulna, és így visszajutnánk a Cantor-paradoxonhoz. Tehát M nem lehet definiálható. Így például a következő definíciós kísérletnek is hibásnak kell lennie:

^*${\displaystyle M(X)\Leftrightarrow }$_def${\displaystyle \exists Y\ X\in Y}$

Ez a meghatározás korrekt NBG-ben és az azzal rokon elméletekben, de A-ban nem. Itt léteznie kell legalább egy olyan valódi osztálynak, amely eleme egy valódi osztálynak. A következő szakaszban látni is fogunk ilyet.

Tekintsük a Russell-osztályt, vagyis az önmagukat elemként nem tartalmazó halmazok osztályát:

${\displaystyle R=\{x:x\notin x\}}$

Ha R halmaz lenne, akkor előállna a Russell-paradoxon. De a halmazkomprehenzió nem kényszeríti ki, hogy R halmaz legyen, mivel V valódi osztály és ${\displaystyle V\notin V}$, tehát az „${\displaystyle X\notin X}$” tulajdonság nem csak halmazokra igaz. (Az „${\displaystyle M(X)\land X\notin X}$” változat már csak halmazokra igaz; de szerepel benne M.)

Vezessük be a rendszámokat a szokásos Neumann-féle meghatározással, külön halmazokra és külön osztályokra. Halmazrendszámon olyan halmazt értünk, amely tranzitív, és amelyet az ${\displaystyle \in }$ reláció jólrendez; osztályrendszámon pedig olyan osztályt, amely az iménti tulajdonságokkal bír. Egy ${\displaystyle \alpha }$ rendszám rákövetkezőjét is a szokásos módon definiáljuk:

${\displaystyle \alpha +1=}$_def${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$

Az osztálykomprehenziós axiómasémából következik, hogy létezik a halmazrendszámok Ord osztálya. A szokásos módon bizonyítható, hogy ez egy osztályrendszám. Ha halmaz lenne, előállna a Burali-Forti paradoxon; tehát Ord valódi osztály.

Kérdés, hogy az NBG elmélethez hasonlóan A-ban is ez-e az egyetlen valódi osztályrendszám. Tegyük fel, hogy igen. Ekkor csak a halmazrendszámoknak van rákövetkezője. Tekintsük azt az elsőrendű tulajdonságot, hogy „X osztályrendszám és X-nek nincs rákövetkezője”. Ebben nincs paraméter, csak halmazokra igaz, és nem szerepel benne az M predikátum; tehát a halmazkomprehenziós séma értelmében meghatároz egy halmazt; éspedig az összes halmazrendszám Ord halmazát. Így visszajutottunk a Burali-Forti paradoxonhoz; a feltevést tehát el kell vetni.

A fentiek következtében kell, hogy létezzen legalább egy olyan osztályrendszám, amelynek van rákövetkezője. Így a halmazrendszámokhoz hasonlóan az osztályrendszámok is jólrendezett hierarchiába rendeződnek: Ord, Ord + 1, Ord + 2 stb. Mivel ${\displaystyle \forall X\ X\in X+1}$, a valódi osztályrendszámok konkrét példát adnak olyan valódi osztályokra, amelyek elemei más valódi osztályoknak.

• Létezik üres halmaz. (Vö. üreshalmaz-axióma.)

Bizonyítás: A „${\displaystyle \forall X\ (X\neq X\rightarrow M(X))}$” formula logikai igazság és M nem szerepel „${\displaystyle X\neq X}$”-ben; így a halmazkomprehenziós axióma értelmében az ${\displaystyle \emptyset =\{x:x\neq x\}}$ osztály halmaz.

• Bármely két halmaz párosztálya halmaz. (Vö. páraxióma.)

Bizonyítás: Az „${\displaystyle M(U)\land M(U')\land \forall X\ ((X=U\lor X=U')\rightarrow M(X))}$” formula következik az „${\displaystyle M(U)\land M(U')}$” feltevésből; továbbá M nem szerepel „${\displaystyle x=u\lor x=u'}$”-ben. Így az ${\displaystyle \{u,u'\}=\{x:x=u\lor x=u'\}}$ osztály halmaz.

• Bármely halmaz unióosztálya halmaz. (Vö. unió-axióma.)

Bizonyítás: Az „${\displaystyle M(U)\land \forall X\ (\exists Z\ (X\in Z\land Z\in U))\rightarrow M(X))}$” formula következik az „${\displaystyle M(U)}$” feltevésből és az elemaxiómából; továbbá M nem szerepel „${\displaystyle \exists Z\ (X\in Z\land Z\in u)}$”-ban. Így az ${\displaystyle \{x:\exists Z\ (X\in Z\land Z\in u)\}}$ osztály halmaz.

• Bármely halmaz hatványosztálya halmaz. (Vö. hatványhalmaz-axióma.)

Bizonyítás: Az „${\displaystyle M(U)\land (\forall X\ (X\subseteq U\rightarrow M(X))}$” formula következik az „${\displaystyle M(U)}$” feltevésből és az részhalmazaxiómából; továbbá M nem szerepel „${\displaystyle \forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in U)}$”-ban. Így az ${\displaystyle \{x:\forall Z\ (Z\in X\rightarrow Z\in u)\}}$ osztály halmaz.

• Létezik ${\displaystyle \omega }$, a legszűkebb induktív halmaz. (Vö. végtelenségi axióma.)

Bizonyítás: Tekintsük azt a tulajdonságot, hogy X eleme minden induktív osztálynak:

${\displaystyle \forall Y\ ((\emptyset \in Y\land \forall Z\ (Z\in Y\rightarrow Z\cup \{Z\}\in Y))\rightarrow X\in Y)}$

V, az összes halmaz osztálya induktív osztály. Ha X minden induktív osztálynak eleme, akkor V-nek is. Így ${\displaystyle \forall X\ (\varphi (X)\rightarrow M(X))}$, továbbá ${\displaystyle \varphi (X)}$-ben nem szerepel M; vagyis a halmazkomprehenziós séma értelmében a legszűkebb induktív osztály, amelyet bevezet, halmaz lesz.

• Ackermann, W. (1956): „Zur Axiomatik der Mengenehre”. Mathematische Annalen 131.
• Fraenkel, A. A. -- Y. Bar-Hillel -- Levy, A. (1973): Foundations of Set Theory. (2. kiadás.) Elsevier, Amsterdam &c.
• Levy, A. (1959): „On Ackermann's set theory”. Journal of Symbolic Logic 24.
• Reinhardt, W. N. (1970): „Ackermann's set theory equals ZF”. Annals of Mathematical Logic 2.