Csebisev-csomópontok

A Csebisev-csomópontok egyenértékűek az n egyenlőközű pontok x koordinátáival egy félkörön (itt, n=10). [1]

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.[2]

Meghatározás

Az első 50-es csebisevi polinom nullái

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:

x k = cos ⁡ ( 2 k − 1 2 n π ) , k = 1 , … , n . {\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}

Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

{\displaystyle } x k = 1 2 ( a + b ) + 1 2 ( b − a ) c o s ( 2 k − 1 2 n π ) , k = 1 , . . . , n . {\displaystyle x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)cos{\biggl (}{\frac {2k-1}{2n}}\pi {\biggr )},\qquad k=1,...,n.}

Közelítés

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} intervallumon és n darab x 1 , x 2 , … , x n , {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},} pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb n − 1 {\displaystyle n-1} -ed fokú P n − 1 {\displaystyle P_{n-1}} polinom melynek minden x i {\displaystyle x_{i}} ponton f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} értéke van. Az interpolációs hiba a x {\displaystyle x} -re:

f ( x ) − P n − 1 ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! ∏ i = 1 n ( x − x i ) {\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}

néhány (x-től függő) ξ {\displaystyle \xi } -ra a [−1,1] intervallumon.[3] Ezt minimalizáljuk

{\displaystyle } max x ∈ [ − 1 , 1 ] | ∏ i = 1 n ( x − x i ) | . {\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.}

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 21−n -től kötött. Ezt a kötést a 21−nTn skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |Tn(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. [4] Ezért, ha az xi interpolációs csomópontok a Tn gyökei, a hiba:

{\displaystyle } | f ( x ) − P n − 1 ( x ) | ≤ 1 2 n − 1 n ! max ξ ∈ [ − 1 , 1 ] | f ( n ) ( ξ ) | . {\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}

Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja

{\displaystyle } | f ( x ) − P n − 1 ( x ) | ≤ 1 2 n − 1 n ! ( b − a 2 ) n max ξ ∈ [ a , b ] | f ( n ) ( ξ ) | . {\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}

Megjegyzések

  1. ↑ Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice (SIAM, 2012).
  2. ↑ Fink, Kurtis D., and John H. Mathews.
  3. ↑ (Stewart 1996), (20.3)
  4. ↑ (Stewart 1996), Lecture 20, §14

Irodalom

  • Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

További irodalom

  • Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .