Egy derékszögű háromszög: a c oldal az átfogó, az a és b oldalak pedig a befogók
A síkmértanban a derékszögű háromszög az a háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög (mértéke π/2 radián vagy 90°). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezik, és ez a legnagyobb. A másik két oldalt befogónak nevezzük.
Általános adatok
A két hegyesszög összege 90° – ez a pótszögek tétele is egyben.
Az átfogóra húzott oldalfelező az átfogót két egyenlő részre osztja.
Bármely derékszögű háromszög körbeírható, a körülírt kör középpontja az átfogó közepén található.
Minden derékszögű háromszög ortocentruma a derékszög tetején található.
Magasságtételek
Az első magasságtétel
Jelölések a megfogalmazott tételekhez
Egy derékszögű háromszögben az átfogóra húzott magasság hossza a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani közepe.
vagy
ahol a CD az átfogónak megfelelő magasság, az AD és a BD pedig a befogók átfogóra eső vetületei (lásd a szomszédos ábrát).
A második magasságtétel
Az átfogónak megfelelő magasság és az átfogó szorzata egyenlő a befogók szorzatával, azaz ha az ABC egy derékszögű háromszög, C = 90° (lásd a szomszédos ábrát), és a CD merőleges az AB-re, akkor érvényes:
A befogótétel
A derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének szorzatával.
Legyen ABC egy háromszög, amelynek C szöge = 90°, és CD merőleges az AB-re (lásd a fenti ábrákat). Ekkor felírható, hogy:
vagy
Szögek
A 45°-os szög tétele
Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 45°, ebből következően a másik is 45°, így az átfogóra húzott magasságvonal hossza az átfogó felével egyenlő.
A 30°-os szög tétele
Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 30°, az ezzel a szöggel szemben fekvő befogó hossza megegyezik az átfogó hosszának felével.
A 15°-os szög tétele
Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 15°, a 15°-os szöggel szembeni magasság hossza az átfogó hosszának a negyede.
Területszámítási képletek
Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a befogók szorzatának felével.
Pitagorasz tétele a derékszögű háromszögre
Pitagorasz tételének illusztrációja
Pitagorasz tétele: a befogók hosszai négyzeteinek összege megegyezik az átfogó hosszának négyzetével. Ez ábrázolható az ABC derékszögű háromszögben, ahol AB az átfogó, C pedig a derékszög (lásd a fenti ábrák jelöléseit). Pitagorasz tétele kimondja, hogy:
Állandó arányok a derékszögű háromszög elemei között
A derékszögű háromszögben a szögek és az oldalak közt állandó arányok állnak fenn, ezek: a szinusz, a koszinusz, a tangens, a kotangens. Amennyiben a szögek változhatnak, ezek független változókként ún. trigonometriai függvényeket hívnak életre.
A szög mértékének szinuszát a szöggel szemben fekvő befogó és az átfogó hányadosa adja meg:
A szög mértékének koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hosszának hányadosa:
A szög mértékének tangense a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hosszainak hányadosa:
A szög kotangense a szög melletti befogó és a szöggel szemben fekvő befogó hányadosa:
Legyen X egy szög mértéke, és (90° – X) a kiegészítő szögének mértéke. Ezután a következő összefüggések adódnak, az I. negyedben:
Trigonometrikus függvényértékek 0°, 30°, 45°, 60° és 90°-os szögek esetén
Szinusz
Koszinusz
Tangens
+ végtelen
Kotangens
+ végtelen
Szögek értékei közti összefüggések
Alapvető trigonometriai képletek
A trigonometria alapvető képlete
Források
Obádovics József Gyula: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972
Nicolae Bourbăcuț. Triunghiul dreptunghic in planul complex. Gazeta Matematică-B,nr.12/2011