Diszjunkt unió

A matematikában, a diszjunkt unió két dolgot jelenthet:

  • Halmazelméletben, a diszjunkt unió egy unió művelet, ahol a diszjunkt uniót alkotó halmazoknak nincs közös eleme.
  • A valószínűségelméletben (vagy még általánosabban a méréselméletben) rendszerint a párosan előforduló, egymással közös részt nem alkotó entitásokat, halmazokat nevezik diszjunkt uniónak.

Halmazelméleti definíció

Formálisan legyen {Ai : i ∈ I} egy halmazcsalád I indexszel. Ennek a halmazcsaládnak a diszjunkt uniója:

⨆ i ∈ I A i = ⋃ i ∈ I { ( x , i ) : x ∈ A i } . {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i):x\in A_{i}\}.}

A diszjunkt unió elemei (x, i) rendezett párok. Itt az i egy járulékos index, mely azt jelzi, mely Ai származik x-től. Minden egyes Ai kanonikusan beágyazódik a diszjunkt unióba:

A i ∗ = { ( x , i ) : x ∈ A i } . {\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i):x\in A_{i}\}.}

i ≠ j-re, az Ai* és Aj* diszjunktak, még akkor is, ha Ai és Aj halmazok nem azok. Extrém esetben, amikor minden egyes Ai egyenlő egy valamilyen fix A halmazzal, minden egyes i ∈ I-re, a diszjunkt unió A és I Descartes-szorzata: ⨆ i ∈ I A i = A × I . {\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.} esetenként ez a jelölés:

∑ i ∈ I A i {\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}

egy halmaz-család diszjunkt uniójára, vagy A + B, két halmaz diszjunkt uniójára.

Ez a jelölés emlékeztet arra a tényre, hogy a diszjunkt unió számossága a család kifejezéseinek számosságának az összege. (Lásd még a halmaz család Descartes-szorzata).

A kategória-elmélet nyelvezetében a diszjunkt unió a halmazok kategóriájának kategória összege. Ezért ez kielégíti a kapcsolódó univerzális tulajdonságot. Ez azt is jelenti, hogy a diszjunkt unió kategória duálisa a Descartes-szorzat konstrukciónak.

Több oknál fogva, egy kiegészítő index partikuláris választása nem lényeges, és egy egyszerűsítő módszerben, az indexelt családot egyszerűen lehet kezelni, mint egy halmaz gyűjteményét.

Ez esetben A i ∗ {\displaystyle A_{i}^{*}} A i {\displaystyle A_{i}} egy másolatának tekinthető, és a ⋃ A ∈ C ∗ A {\displaystyle \bigcup _{A\in C}{^{*}}A} jelölés használatos.

Valószínűségelméleti definíció

Legyen C egy páronként diszjunkt halmazok gyűjteménye. Ez azt jelenti, hogy a C-ben minden A≠B halmaz metszete üres, azaz A∩B = ∅. C ben az összes halmaz uniója, a halmazok diszjunkt uniója:

⨆ A ∈ C A ≡ ⋃ A ∈ C A {\displaystyle \bigsqcup _{A\in C}A\equiv \bigcup _{A\in C}A}

és így, a “diszjunkt unió” kifejezés egyszerűen rövidítése a “ halmazok uniójának, melyek páronként diszjunktak”.

Irodalom

  • Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001. ISBN 9639345520  
  • Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999.  

Kapcsolódó szócikkek