Euklideszi szerkesztés
A síkgeometria szerkesztési feladatainak olyan kivitelezését nevezzük euklideszi szerkesztésnek,[1] amelynek során csak egyélű vonalzót és körzőt használunk, és ezeket is csak meghatározott módon.
A szerkesztési feladat
A síkbeli szerkesztési feladatot általában a következőképpen lehet megfogalmazni:
- Adva van bizonyos számú pont és olyan ponto(ka)t kell szerkeszteni, amely(ek) az adott pontokkal (és egymással) meghatározott viszonyban van(nak).
Csak a fogalmazást egyszerűsíti, ha adott pontok mellett/helyett adott egyenesek és/vagy körök, továbbá távolságok (szakaszok) szerepelnek. Ezek ugyanis megszerkeszthető alakzatoknak számítanak.
Alapműveletek
- 1. A vonalzót két adott ponton átmenő egyenes megrajzolására használhatjuk.
- 2. A körzővel adott pont körül adott hosszú sugárral kört rajzolhatunk.
- 3. Két egyenes metszéspontját megjelölhetjük.
- 4. Egyenes és kör metszéspontját megjelölhetjük.
- 5. Két kör metszéspontját megjelölhetjük.
- 6. Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. [forrás?].
Az 1. és 2. művelet Eukleidész posztulátumainak felel meg. Az első szerint „…minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható”, a harmadik pedig megköveteli, hogy „…minden középponttal és távolsággal legyen kör rajzolható”. Ezért nevezzük e szerkesztési módott euklideszi-nek. A következő három alapművelet megfogalmazásában a „megjelölhetjük” azt fejezi ki, hogy ha az említett két vonalat az 1-2. művelettel megrajzoltuk (vagy adott volt valamelyik), akkor a vonalak metszését a szerkesztés következő lépéseiben mint adott pontot tekinthetjük. Hangsúlyozni kell, hogy csak metszéspontról van szó. Az egyenes és kör, vagy két kör érintési pontja nem jelölhető meg. Végül a 6. szerint önkényesen felvehetünk pontokat az adott és megszerkesztett pontokon kívül, ha ezek helyzete közömbös a feladat megoldása szempontjából.
Megoldhatóság
Egy szerkesztési feladatot akkor mondunk euklideszi szerkesztéssel megoldhatónak, ha a fenti hat alapművelet véges számú ismétlésével elvégezhető. Már az ókori matematikusok találkoztak olyan feladatokkal, amelyre nem találtak euklideszi megoldást. Ilyenek például:
- 1. A kör négyszögesítése (a körrel azonos kerületű / területű négyzet szerkesztése).
- 2. A kocka térfogatának megkettőzése (déloszi probléma).
- 3. A szögharmadolás (tetszőleges szög harmadának szerkesztése).
- 4. Szabályos hétszög, és általában szabályos sokszögek szerkesztése.
Az euklideszi szerkeszthetőség kérdése elemi eszközökkel nem minden esetben dönthető el. Az analitikus (koordináta) geometria eszköztára azonban csak a 16. századtól áll rendelkezésre, s így egyik-másik klasszikus feladat az ókori tudomány számára örök misztérium maradt. A „bármi áron” való megoldás keresése közben egyrészt újabb eszközökkel próbálkoztak, másrészt a körző és a vonalzó másfajta (szabadabb) használatát engedték meg. A „megoldhatóság” elemzése sok új matematikai eredményt szült, s a vizsgálatok a síkról a gömbre és más felületekre, továbbá a nemeuklideszi terek síkjára és felületeire is kiterjedtek.
Az elmélet és a gyakorlat
Mindkét eszköz bizonyos pontatlansággal bír. A vonalzó készítője is hibázhat, s a használat tovább ronthatja a sablont. A körző két szárát összekötő csap illesztése és a rögzítés jelenti az eszköz „Achilles-sarkát”. A pontosan kivitelezett szerkesztés a műszaki tervezés és a kivitelezés számára egyaránt fontos. Az euklideszi szerkesztés szigorúsága pedig a pontosságot nem szavatolja.[2]
További problémát jelentenek az olyan esetek, amikor egyenesek és/vagy körök metszéspontja a rajzlapon kívülre esik, vagy amikor a megrajzolandó kör sugara nagyon nagy, vagy éppen kicsi és a körzőt nem lehet erre a távolságra beállítani.
Megengedett eszközök
A gyakorlatban az euklideszi elvet megtartó, de a munkát leegyszerűsítő eszközök sora segíti a műszaki szerkesztőket. Néhány ezek közül:
- 1. Háromszög vonalzók derékszöggel és
- a. 45-45 fokos hegyesszögekkel,
- b. 30-60 fokos hegyesszögekkel.
- 2. Fejesvonalzók
- a. rajztáblán használható, T alakú fejjel,
- b. jelöléshez használt, L alakú fejjel.
- 3. Rajzgépek elfordítható vonalzókkal.
- 4. Nullkörző (igen kis sugarú körökhöz)
Ezek az eszközök a triviális euklideszi szerkesztéseket rövidítik le. Például: a párhuzamosok, a merőlegesek szerkesztése egyszerűsödik.
Kiegészítők
Néhány megoldhatatlan feladat közelítő kivitelezése a műszaki gyakorlatban elengedhetetlen. Ezekhez speciális eszközöket használnak. Ilyenek:
- 1. Osztókörző a (tetszőleges) körosztáshoz.
- 2. Görberajzoló eszközök
- a. Görbék pontjainak kitűzéséhez.
- b. Pontonként szerkesztett görbék ívének kihúzásához.
- c. Speciális szerkezetek, pl. : ellipszis „körző”.
- 3. Vonalkázó (sraffozó), a műszaki rajzon a metszetek jelölésére.
Jegyzetek
- ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi szerkesztés, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
- ↑ Anekdota:Prof. Dr. Kólya Dániel fiatal tanársegédként bemutatta a szabályos 17-szög Gausstól származó szerkesztését. Amikor a mű elkészült és a csúcsok számozására került sor, kiderült, hogy a gondosan konstruált sokszögnek csak 16 csúcsa van.
Kapcsolódó szócikkek
- Geometriai szerkesztések
- Eukleidész
- Elemek
- Euklideszi axiómák
- Szerkeszthető sokszögek
Irodalom
- Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
- Szökefalvi Nagy Gyula dr.: A geometriai szerkesztések elmélete – Akadémiai Kiadó, Budapest, 1968.
- Sain Márton: Matematika-történeti ABC – Nemzeti Tankönyvkiadó-Typotex, Bp. 1993.
További információk
- A megalázott géniusz, YOUPROOF
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap