Faltings-tétel

A Mordell-sejtés azt állította, hogy egy, a racionális test fölötti egynél nagyobb nemszámú görbének véges sok pontja van. Ennek egy általánosítása, hogy a racionális számok helyett annak véges bővítése is vehető. Faltings ezt az általánosítást látta be, ez a Faltings-tétel.

Jelölje a C ${\displaystyle \mathbb {R} }$ feletti görbe génuszát g! Ekkor C pontjainak száma a következő:

• Ha g = 0, akkor a pontok száma vagy nulla, vagy végtelen
• Ha g = 1, akkor vagy nincsenek pontok, vagy C elliptikus görbe, és racionális pontjai végesen generált Abel-csoportot alkotnak. Mazur torziótétele meghatározza ennek torziócsoportjának szerkezetét
• Ha g > 1, akkor a Faltings-tétel szerint véges sok pontja van

Faltings 1983-as cikke már felsorolta a tétel több következményét is:

• A Mordell-sejtés, mint speciális eset
• Az izogenitás tétele, hogy az izomorf Tate-modulú Abel-varietások génusza megegyezik
• A Shafarevich-sejtés, hogy rögzített számtest felett a rögzített dimenziójú és polarizációs fokú Abel-varietásoknak véges sok izomorfia-osztálya van, ami jól redukálható helyek egy véges halmazán kívül

Parshin (1971) visszavezette a Mordell-sejtést a Shafarevich-sejtésre. A Faltings-tétel alkalmazásával a nagy Fermat-tétel egy gyengébb formája is belátható: egy adott n > 4-re az aⁿ + bⁿ = cⁿ egyenletnek véges sok megoldása lehet, mivel ezekre az n-ekre az xⁿ + yⁿ = 1 görbe génusza egynél nagyobb.

A Mordell–Weil-tétel miatt a Faltings-tétel állítása átfogalmazható így: A C görbe metszete az A Abel-varietás Γ részcsoportjával véges. C vehető az Abel-varietás részvarietásának, és Γ a varietás véges rangú részcsoportjával. Ez volt a Mordell–Lang-sejtés, amit azóta szintén beláttak.

A Bombieri–Lang-sejtés szerint, ha X pszeudokanonikus varietás egy K számtest fölött, akkor X(K) nem Zariski-sűrű X-ben. Paul Vojta még általánosabb sejtéseket is javasolt.

Függvényterekre Manin (1963) és Grauert (1965) látta be. Coleman (1990) hibát, rést talált Manin gondolatmenetében.

Faltings eredeti bizonyítása a Tate-sejtés egy speciális esetére vezette vissza az állítást a Néron-modell és az algebrai geometria más eszközeinek felhasználásával. Paul Vojta diofantoszi approximációval oldotta meg; ezt a bizonyítást alakította elemire Enrico Bombieri.

• Bombieri, Enrico (1990). „The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4), 615–640. o.  
• (1990) „Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 36 (3), 393–427. o. [2011. október 2-i dátummal az eredetiből archiválva]. ISSN 0013-8584. (Hozzáférés: 2014. július 24.)  
• Cornell, Gary, Silverman, Joseph H.. Arithmetic geometry. New York: Springer (1986). ISBN 0-387-96311-1  → Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). „Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. Inventiones Mathematicae 73 (3), 349–366. o. DOI:10.1007/BF01388432.  
• (1965) „Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS (25), 131–149. o. ISSN 1618-1913.  
• Hindry, Marc, Silverman, Joseph H.. Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (2000). ISBN 0-387-98981-1  → Gives Vojta's proof of Falting's Theorem.
• S. Lang. Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag, 101–122. o. (1997). ISBN 3-540-61223-8 
• (1963) „Rational points on algebraic curves over function fields”. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 27, 1395–1440. o. ISSN 0373-2436.  
• (1922) „On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 179–192. o.  
• Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1. Gauthier-Villars, 467–471. o. (1971) 
• Parshin, A. N. (2001) [1994], Mordell conjecture, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press