Galjorkin-módszer

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A Galjorkin-módszer a matematikában, a numerikus analízis területén, olyan módszerek csoportja, amely egy folytonos feladatot diszkrét feladattá alakítja át (például egy differenciálegyenlet esetén). Elméletileg egyenértékű egy függvénytéren belül a paraméterek variálási módjának alkalmazásával. Tipikusan az egyik akkor alkalmaz bizonyos korlátokat a függvénytéren belül, ha a tér véges. A Galjorkin-módszer hatékony numerikus megoldást nyújt a differenciálegyenletek megoldásánál és a modális elemzés során.

A megközelítés Borisz Grigorjevics Galjorkin nevéhez fűződik, de a módszert Walther Ritz fedezte fel.

Példák Galjorkin-módszerre:

• a Galjorkin-módszer súlyozott maradéka a leggyakoribb számítási módszere a globális merevségi mátrixnak^[1] és véges elem módszernek
• a határelem-módszer az integrált egyenletek esetén
• Krilov-féle iteratív módszerek^[2]

Bemutatjuk a Galjorkin-módszert egy absztrakt feladaton, amely gyenge feladatként jelenik meg egy ${\displaystyle V}$-vel jelölt Hilbert-téren, azaz ${\displaystyle u\in V}$ és ${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$.

Itt az ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ egy bilineáris forma (pontos követelmények szerint az ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ később kerül meghatározásra) és az ${\displaystyle f}$ egy korlátos lineáris funkcionál a ${\displaystyle V}$ téren.

Választunk egy ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ alrendszert, ami az ${\displaystyle n}$ dimenziós ${\displaystyle V}$ térből van, mely megoldja a feladatot: keresünk egy ${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$-et, amire teljesül, hogy ${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$.

Ezt Galjorkin-egyenletnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az egyenlet maga változatlan marad, csak a terek változtak meg. Ez a véges dimenziós altérbe való redukció lehetővé teszi az ${\displaystyle u_{n}}$-nek a ${\displaystyle V_{n}}$ altér bázisvektorainak véges lineáris kombinációként való numerikus kiszámítását.

A Galjorkin-féle megközelítés kulcsfontosságú tulajdonsága, hogy a hiba ortogonális a kiválasztott alterekre. Mivel ${\displaystyle V_{n}\subset V}$, használni tudjuk ${\displaystyle v_{n}}$-t mint tesztvektort az eredeti egyenletben. A két egyenlet egymásból való kivonásával megkapjuk a Galjorkin-féle ortogonalitási relációt az ${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$, ahol ${\displaystyle u}$ az eredeti feladat, míg az ${\displaystyle u_{n}}$ a Galjorkin-egyenlet megoldása:

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

Mivel a Galjorkin-módszer célja a lineáris egyenletrendszerek megoldása, így a mátrix formáját építjük fel, melynek segítségével a megoldást a számítógépes program határozza meg.

Veszünk egy ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ bázist a ${\displaystyle V_{n}}$ vektortérből. Ezután elegendő ezeket a Galjorkin-egyenletek teszteléséhez használni, oly módon hogy ${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

Ennek alapján bővítjük ${\displaystyle u_{n}}$-t, úgy hogy ${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$ , melyet felhasználva a fenti egyenlet:

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$ lesz.

Ez egy lineáris egyenletrendszer, mely a következőképpen írható: ${\displaystyle Au=f}$ , ahol ${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

A mátrix tulajdonságai alapján a Galjorkin-egyenlet mátrixa is szimmetrikus, akkor és csak is akkor ha a billineáris forma ( ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$) is szimmentrikus.

Itt használjuk a bilineáris formát, vagyis ${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$ Ez valójában nem korlátozza a Galjorkin-módszereket, de a standard elmélet alkalmazása egyszerűbbé válik. Ezen kívül a nemszimmetrikus esetekben a Petrov-Galjorkin módszerre lehet szükség.

A módszerek elemzése két lépésben történik:

1. Meg kell mutassuk hogy a Galjorkin-egyenlet Hadamard értelemben egy jól körülhatárolt feladat, ezért egyedülálló megoldást jelent
2. Tanulmányozzuk a Galjorkin-megoldás közelítését

Az elemzés többnyire a billineáris forma két tulajdonságára korlátozódik:

• Határozottság: minden ${\displaystyle u,v\in V}$ tart az ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$-hoz, a C állandón keresztül (C>0)

• Ellipticitás: minden ${\displaystyle u\in V}$ tart az ${\displaystyle u\in V}$ -hoz a c állandón keresztül (c>0)

A Lax-Milgram-tétel szerint ez a két feltétel az eredeti feladat jó helyzetét fogalmazza meg. A fent megjelent normákat gyakran energia-normáknak is nevezik.

A ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ a bilineáris forma hatására az ellipticitása ${\displaystyle V_{n}}$. Ezért a Galjorkin-probléma tulajdonképpen az eredeti probléma jól megfogalmazott öröksége.

Az eredeti hiba és a Galjorkin-megoldás között felírható a következő összefüggés:

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

Ez azt jelenti hogy a ${\displaystyle C/c}$ állandó, és a Galjorkin-megoldás (${\displaystyle u_{n}}$) olyan közel áll az eredeti megoldáshoz (${\displaystyle u}$), hogy mindkettő a ${\displaystyle V_{n}}$ belül helyezkedik el.

Mivel a bizonyítás nagyon egyszerű, az alapelv a Galjorkin-módszerek mögött a bilineáris forma ellipticitásával határolható, vagyis ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$:

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

Elosztva a ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$ értékkel, a lehető legkevesebb ${\displaystyle v_{n}}$ hozza létre a lemmát.

• Ritz-módszer^[3]