| Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés
![{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0e05b2a18863af9ca1777f8711f74680aa7c70)
Ha itt f(x) = xp, akkor visszajutunk a hatványközepekhez.
Definíció
Legyenek
nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok
-adik hatványközepe:
![{\displaystyle S_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{k}}{n}}\right)^{\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d17fd0dd32cab9b8b96798a963236a41e56a082)
Legyenek emellett
pozitív súlyok, és
, ekkor definiálhatjuk
súlyozott hatványközepét:
![{\displaystyle S_{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}x_{i}^{k}}{w}}\right)^{\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084ac833a699b82f49b6ee8329f4da8714d6a395)
Egyre normálva:
, ahol ![{\displaystyle w'_{i}={\frac {w_{i}}{w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c9b6133b0cd4bc5882cd95726de4a4aa6ca3eb)
Nevezetes hatványközepek
| minimum |
| harmonikus közép |
| mértani közép |
| számtani közép |
| négyzetes közép |
| maximum |
A hatványközép határértékei
Maximum és minimum
,
ugyanis legyen
és
, ekkor
,
.
Mértani közép
, ahol
.
A L’Hospital-szabály szerint
,
kihasználva az exponenciális függvény(
) folytonosságát
.
Homogenitása
A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha
, akkor tetszőleges
-ra
![{\displaystyle S_{k}(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bS_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa7ebdd2b8bad68b4eb4bf89c9e9a14ef9e3a4c)
Bizonyítás
.
További tulajdonságai
- A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek.
- A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken.
- Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:
![{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123bdbdd17dee6edcaf0853d80b4fb9d949a5cea)
Hatványközepek közti egyenlőtlenség
A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az
függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha
, akkor
.
A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.
Felhasználása
A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.
Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Generalized mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap