| Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
A kifejtési tétel a mátrixok determinánsának kiszámítására használható matematikai tétel. Eszerint egy n × n-es mátrix determinánsának kiszámításához egy tetszőleges sor (vagy oszlop) minden elemét meg kell szoroznunk a hozzá tartozó előjeles aldeterminánssal, és összegeznünk kell a kapott számokat. (Ilyenkor beszélünk a determináns valamely i-edik sor (vagy oszlop) szerinti kifejtéséről.)
Előjeles aldetermináns
Vegyünk egy n × n-es mátrixot. Ha elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, akkor egy (n–1)×(n–1)-es mátrix keletkezik. Az említett sor és oszlop metszéspontjában található elemhez tartozó előjeles aldetermináns nem más, mint a keletkezett (n–1)×(n–1)-es részmátrix determinánsának
-szerese. Az aldeterminánsokat a megfelelő előjellel és a megfelelő elemmel összeszorozva és összegezve kapjuk a mátrix determinánsát.
A
kifejezés –1 vagy +1 értéke megadja, hogy az aldetermináns átfordul-e vagy sem az ellentettjére. Könnyű megjegyezni: a bal fölső sarokban lévő elem esetén mindig +1, és utána sakktáblaszerűen váltakozva következik a –1 és a +1. Például 6×6-os esetben:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f14910460364744d01b3bea101115b892a494d)
Példa
Az
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}&a_{46}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{65}&a_{66}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26f190c16c0cfd009ba076bfce214295e7fd4b4)
mátrix determinánsát szeretnénk a mátrix 4. sora szerint kifejteni. A megoldás
![{\displaystyle \det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bf06c8dc0de0cfb97d885719afd03ee3184611)
mert mondjuk az a45 elemhez tartozó aldetermináns meghatározásához elhagyjuk a 4. sort és az 5. oszlopot a mátrixból:
![{\displaystyle {\begin{array}{c c c c|c|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}\\\hline a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}&a_{46}\\\hline a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{65}&a_{66}\\\end{array}}\Rightarrow {\begin{array}{c c c c|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\\hline a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2c6d14876b4d79a1bee1027b5ad361f5d86754)
A kapott mátrixot jelöljük A45-tel:
![{\displaystyle A_{45}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2d6b7fc6834b3ace9da1db1c1987d5f41e6082)
Ezután kiszámítjuk az A45 determinánsának az értékét:
![{\displaystyle \det A_{45}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{16}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{26}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{36}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{56}\\a_{61}&a_{62}&a_{63}&a_{64}&a_{66}\\\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bcc06dd52d2ad8d56acd45e0194373622ab8a5)
Hasonlóan számoljuk ki az A mátrix 4. sorának többi eleméhez tartozó aldeterminánst is.
Az a45 elemhez tartozó előjel – (mivel (–1)4+5=(–1)9=–1), így az aldeterminánst –1-gyel megszorozva kell hozzáadni az összeghez.
A fenti táblázat 4. sorából is megkaphatjuk a többi aldeterminánshoz tartozó előjelet:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\+&-&+&-&+&-\\\hline -&+&-&+&-&+\\\hline +&-&+&-&+&-\\-&+&-&+&-&+\\\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79910200f2e26661aafafa04705df42533a2cfed)
és így lesz az eredmény még egyszer leírva
![{\displaystyle \det A=-a_{41}\det A_{41}+a_{42}\det A_{42}-a_{43}\det A_{43}+a_{44}\det A_{44}-a_{45}\det A_{45}+a_{46}\det A_{46}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e026f44ac8de16240cac43455cd244d414da8940)
Több sor vagy oszlop szerint
A kifejtés egyszerre több sor és oszlop szerint is végezhető.
Példa: egy 5 x 5-ös mátrix determinánsa a második és az ötödik sor szerint kifejtve:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}\\a_{51}&a_{52}&a_{53}&a_{54}&a_{55}\\\end{vmatrix}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359a664df1bbb9d0f96a0091071cbdaf1cadc960)
![{\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{51}&a_{52}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{33}&a_{34}&a_{35}\\a_{43}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{51}&a_{53}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{14}&a_{15}\\a_{32}&a_{34}&a_{35}\\a_{42}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7962ed6cfa57be7793da1c1248ea9a1a0da51922)
![{\displaystyle +{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{24}\\a_{51}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{15}\\a_{32}&a_{33}&a_{35}\\a_{42}&a_{43}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{25}\\a_{51}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5003a376795ca844ae6521fd857dd63976cb223)
![{\displaystyle +{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{52}&a_{53}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}&a_{15}\\a_{31}&a_{34}&a_{35}\\a_{41}&a_{44}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}\\a_{52}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{15}\\a_{31}&a_{33}&a_{35}\\a_{41}&a_{43}&a_{45}\\\end{vmatrix}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bb3c513d933b32251bd7ff0913ee9c7c3a72f8)
![{\displaystyle +{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{25}\\a_{52}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{43}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{24}\\a_{53}&a_{54}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{15}\\a_{31}&a_{32}&a_{35}\\a_{41}&a_{42}&a_{45}\\\end{vmatrix}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de76d093ba1e6cb72fc9b8af1b2a58b219a5762)
![{\displaystyle -{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{25}\\a_{53}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{44}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{24}&a_{25}\\a_{54}&a_{55}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c136c7511fb768eea24c8f79a1914b071ce3a69e)
Az első mátrix előjele például azért pozitív, mert sor- és oszlopindexeinek összege 10, ami páros. Itt az együttható mátrixban szereplő összes index számít.
Ferde kifejtés
Ferde kifejtésnek nevezzük az
alakú szorzatokat.
A ferde kifejtés tétele szerint ezek a szorzatok nem számítanak bele a mátrix determinánsába.
Megjegyzés
Programozói szempontból a kifejtési tétel alkalmazásánál sokkal célravezetőbb a Gauss-eliminációval való lépcsős alakra hozás (alsó vagy felső háromszögmátrix elég), majd a főátlóban lévő elemek összeszorzása. Ugyanis a kifejtés során annyira felhalmozódnak a számítási hibák, hogy elvész a numerikus információ.
Források
- Pelikán József: Algebra
- Scharnitzky Tibor: Mátrixszámítás (Műszaki, 1986) ISBN 963 1067 64 5
- Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek I. (ELTE–Typotex, 1993) ISBN 963 7546 31 6
| Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
Matematika-portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap