Kuramoto-modell

A Kuramoto-modell, melyet Kuramoto Josiki (蔵本 由紀; Hepburn: Yoshiki Kuramoto^?) vezetett be, egy matematikai modell amely egyes szinkronizációkat hívatott leírni. Specifikusabban egy olyan modell, amely sok csatolt oszcillátor (rotátor) viselkedését írja le. Alkalmazható különböző kémiai és biológiai oszcillátorokra.

Ahhoz, hogy a modell alkalmazható legyen, szükséges az, hogy az oszcillátorok hasonlóak legyenek (kicsi legyen az eltérés a frekvenciájuk között), a csatolás mértéke gyenge legyen, valamint ez a modell azt is feltételezi, hogy a kölcsönhatás szinuszosan függ az oszcillátorok között levő fáziskülönbségtől.

A leghasználtabb Kuramoto-modellben minden oszcillátornak megvan a saját, intrinszek ${\displaystyle \omega _{i}}$ frekvenciája és mindegyik ugyanúgy van csatolva a többihez. Meglepetésre ez a teljesen nemlineáris rendszer megoldható egzaktul egy speciális alakú kapcsolást feltételezve. Az oszcillátorrendszerre a következő egyenletet írhatjuk fel:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta _{i}}{\partial t}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

ahol N az oszcillátorok száma.
Abban az esetben, ha a rendszerben zaj is van, akkor az egyenlet a következőképpen módosul:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta _{i}}{\partial t}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$,

${\displaystyle \zeta _{i}}$ a zaj, és feltételezzük, hogy ez időfüggő, s a következő alakja van:

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$ ,

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

és ${\displaystyle D}$ a zaj erősségét jellemzi.

Ahhoz, hogy ez a csatolt differenciálegyenletrendszer analitikusan megoldható legyen, egy transzformációra van szükségünk. Mégpedig meghatározzuk a következő rendparamétereket ${\displaystyle r}$ és ${\displaystyle \psi }$ , s a transzformáció, amelyik segítségével meg lehet oldani a rendszert (legalábbis abban az esetben, ha N → ∞) a következőképpen fog kinézni

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$.

Itt ${\displaystyle r}$ a fáziskoherenciáját jelenti az oszcillátorrendszernek és ${\displaystyle \psi }$ az átlagos fázist. Ha az előző egyenletre alkalmazzuk ezt a transzformációt, akkor az a következőképpen alakul át:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta _{i}}{\partial t}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$.

Így sikerült a csatolt egyenletrendszerünket egymástól független egyenletekre szétválasztani, most már az egyenletek csak a két rendparamétertől függnek. Egy másik transzformációt elvégezve, egy forgó vonatkoztatási rendszerbe, amelyikben a statisztikai átlagfázis 0, az egyenlet a következőképpen fog kinézni

${\displaystyle {\frac {\partial \theta _{i}}{\partial t}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$.

Most feltételezzük, hogy N tart a végtelenbe. Vegyük az intrinszik ${\displaystyle \omega _{i}}$, fázisok eloszlását, ${\displaystyle g(\omega )}$t és feltételezzük, hogy ez az eloszlásfüggvény le van normálva. Most tételezzük fel, hogy az oszcillátorok sűrűsége egy adott ${\displaystyle \theta }$ fázisban, egy adott ${\displaystyle \omega }$ értékre, t időpillanatban ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$. Ha normált akkor

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}$

A kontinuitási egyenletet a következőképpen írhatjuk fel

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}$

ahol ${\displaystyle v}$ a driftsebessége az oszcillátoroknak, amit az áttranszformált egyenletből kapunk, ezt behelyettesítve, az egyenlet a következő alakú lesz

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Át kell értelmezzük még a rendparamétert a folytonos esetre, és ${\displaystyle \theta _{i}}$ helyett az állapotsűrűséget kell használni, valamint a szummát át kell alakítanunk integrállá, ekkor így fog kinézni a rendparaméterek definíciója: ${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}$

A nem-szinkronizált állapotnak, amikor minden oszcillátor teljesen véletlenszerűen oszcillál az a megoldás felel meg, hogy ${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$. Ebben az esetben ${\displaystyle r=0}$, és nincs koherencia az oszcillátorok között,vagyis az oszcillátorok egyenletesen oszlanak el az összes lehetséges fázis között. Ha a csatolás K eléggé erős, akkor egy teljes szinkronizáció lehetséges. Ebben az esetben minden oszcillátornak közös a frekvenciája, annak ellenére hogy a fázisuk különböző. Van még egy megoldás, mikor a rendszer egy része szinkronizálódik, s a többi oszcillátor véletlenszerűen oszcillál. Ilyenkor az eloszlásfüggvény a következő alakú:

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

Eredményként tehát azt kapjuk, hogy létezik egy K kritikus kapcsolás, amely alatt a rendszer nem szinkronizálódik, de felette valamilyen fokú szinkronizáció észlelhető. A számítások értelmében ennek a K kritikus csatolásnak az értéke arányos az oszcillátorok frekvenciájának diszperziójával [8]. Vagyis minél nagyobb az eltérés az oszcillátorok frekvenciái közt, annál nagyobb kell legyen az értéke a csatolási állandónak,(tehát annál erősebben csatolt kell legyen) ahhoz hogy az oszcillátorok szinkronizálódjanak.

• Acebrón, Juan A.; Bonilla, L. L. & Vicente, Pérez et al. (2005), "The Kuramoto model: a simple paradigm for synchronization phenomena", Reviews of Modern Physics 77: 137–185, doi:10.1103/RevModPhys.77.137, <http://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf>.
• Strogatz, S. (2000), "From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators", Physica D 143 (1–4): 1–20, DOI 10.1016/S0167-2789(00)00094-4.
• Cumin, D. & Unsworth, C. P. (2007), "Generalising the Kuromoto model for the study of neuronal synchronisation in the brain", Physica D 226 (2): 181–196, DOI 10.1016/j.physd.2006.12.004.