Liouville-függvény
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Liouville.svg/220px-Liouville.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Liouville-big.svg/220px-Liouville-big.svg.png)
A számelméletben a Liouville-függvény egy fontos számelméleti függvény, amit Joseph Liouville-ről neveztek el. Ha n pozitív egész, akkor λ(n) definíciója:
ahol a nagy omega függvény n prímosztóinak száma multiplicitással számolva.(A008836 sorozat az OEIS-ben).
λ teljesen multiplikatív, mivel Ω(n) teljesen additív, vagyis Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Az egynek nincsenek prímosztói, ezért Ω(1) = 0, így λ(1) = 1. A Liouville-függvény eleget tesz a következő azonosságnak:
A Liouville-függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény abszolútértéke.
Sorok
A Liouville-függvény Dirichlet-sora kapcsolódik a Riemann-féle zéta-függvényhez:
Lambert-sora:
ahol a Jacobi-féle thetafüggvény.
Megcáfolt sejtések
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Liouville-log.svg/220px-Liouville-log.svg.png)
A Pólya-sejtés Pólya Györgytől származik 1919-ből. Legyen
A sejtés azt állítja, hogy minden n > 1. Ezt azóta megcáfolták. A legkisebb ellenpélda n = 906150257, amit Minoru Tanaka fedezett fel 1980-ban. Azóta megmutatták, hogy L(n) > 0,0618672√n végtelen sok n-re,[1] míg L(n) < −1,3892783√n végtelen sok pozitív n-re.
A kapcsolódó összeg
Sokáig nyitott kérdés volt, hogy T(n) ≥ 0 egy elég nagy n ≥ n0-ra. Ennek felvetését sokszor Turán Pálnak tulajdonítják, tévesen. Ezt Haselgrove cáfolta meg 1958-ban, megmutatva, hogy T(n) végtelen sokszor negatív. Az ellenkező eredmény a Riemann-sejtést is bebizonyította, ahogy Turán Pál levezette.
Jegyzetek
- ↑ P. Borwein, R. Ferguson, and M. J. Mossinghoff, Sign Changes in Sums of the Liouville Function, Mathematics of Computation 77 (2008), no. 263, 1681–1694.
Források
- Polya, G. (1919). „Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 28, 31–40. o.
- (1958) „A disproof of a conjecture of Polya”. Mathematika 5, 141–145. o. DOI:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793.
- (1960) „On Liouville's function”. Math. Comp. 14, 311–320. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5.
- (1980) „A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function”. Tokyo Journal of Mathematics 3 (1), 187-189. o. DOI:10.3836/tjm/1270216093.
- Weisstein, Eric W.: Liouville Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Sablon:Springer
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.