Multifokális ellipszis

Három megadott fókusszal rendelkező n-ellipszisek. A távolságok nem lineárisan skálázódnak.

A matematika, azon belül a geometria területén az n-ellipszis az ellipszis olyan általánosítása, ami a megszokott két fókusztól eltérő számú fókuszt is megenged.[1] Az n-ellipszisek további elnevezései a multifokális ellipszis,[2] poliellipszis,[3] egglipse,[4] k-ellipszis,[5] és Tschirnhaus'sche Eikurve (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus után). Elsőként James Clerk Maxwell tanulmányozta őket, 1846-ban.[6]

Ha a síkban megadunk n darab fókuszpontot ui, vi koordinátáikkal, egy n-ellipszis a síkban azon pontok mértani helye, melyek az n fókuszponttól mért távolságösszege egy d konstanssal egyezik meg. Matematikai képlettel:

{ ( x , y ) ∈ R 2 : ∑ i = 1 n ( x − u i ) 2 + ( y − v i ) 2 = d } . {\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}

Az 1-ellipszis a körrel egyezik meg, a 2-ellipszis pedig a klasszikus ellipszissel. Mindkettő 2 fokszámú algebrai görbe.

Bármely n fókuszszámra igaz, hogy az n-ellipszis zárt, konvex görbe.[2]p. 90 A görbe sima, kivéve ha keresztülmegy az egyik fókuszon.[5]p.7

Az n-ellipszisről általánosságban elmondható, hogy egy konkrét algebrai egyenletet kielégítő pontok részhalmaza alkotja.[5]Figs. 2 és 4; p. 7 Ha n páratlan, a görbe algebrai fokszáma 2 n {\displaystyle 2^{n}} , míg ha n páros, a fokszám 2 n − ( n n / 2 ) {\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}} .[5]Thm. 1.1

Kapcsolódó szócikkek

  • Általánosított kúpszelet

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a N-ellipse című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

  1. ↑ J. Sekino (1999): "n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", American Mathematical Monthly 106 #3 (March 1999), 193–202. MR1682340; Zbl 986.51040.
  2. ↑ a b (1982. július 13.) „On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses”. Journal of Applied Probability 19, 89–96. o. [2016. szeptember 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2015. február 22.)  
  3. ↑ Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", Q. of Appl. Math., pages 239–255, 1977.
  4. ↑ P.V. Sahadevan (1987): "The theory of egglipse—a new curve with three focal points", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 18 (1987), 29–39. MR872599; Zbl 613.51030.
  5. ↑ a b c d J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: “Semidefinite representation of the k-ellipse”, in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132
  6. ↑ James Clerk Maxwell (1846): "Paper on the Description of Oval Curves, Feb 1846, from The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

További információk

  • P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
  • B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap