Schwarzschild-metrika
Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely leírja egy statikus gömbszimmetrikus objektum gravitációs terét a gravitáló test felszínén kívűl. A megoldás során feltétlezte, hogy az objektum elektromágnesesen semleges, és a kozmológiai állandó zérus. Az elméleti asztrofizikában széleskörben használt lassan forgó objektumok gravitációs terének modellezésére.
Történet
A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.[1]
Schwarzschild az eredeti megoldásban[2] más R koordinátát használt .[3] A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.[4]
A Schwarzschild metrika
![]() | Bővebben: A Schwarzschild-megoldás levezetése |
Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild metrika alakja:
ahol:
- τ a saját idő
- c a fénysebesség
- t az idő koordináta
- r a radiális koordináta
- θ és φ a két szögkoordináta
- rs a Schwarzschild-sugár ami a tömeggel M kifejezve rs = 2GM/c2, ahol G a gravitációs állandó.[5]
Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.[6]
A Schwarzschild metrika izotrop koordinátázása
A metrikát felírhatjuk az Eddington[7] féle izotrop koordinátakban (r ≥ 2GM/c2[8]).
Az
radiális koordináta helyett az r1-et használva
ahol az x, y, z izotróp koordináták
és
így a metrika
- [7]
Fekete lyuk megoldások
Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[9] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.
Nem forgó (J = 0) | Forgó (J ≠ 0) | |
Töltés nélküli (Q = 0) | Schwarzschild | Kerr-metrika |
Elektromosan töltött (Q ≠ 0) | Reissner–Nordström-metrika | Kerr–Newman metrika |
A metrika más alakjai
- Lemaitre koordináták
- Eddington–Finkelstein koordináták
- Kruskal–Szekeres koordináták
- Novikov koordináták
- Gullstrand–Painlevé koordináták
Jegyzetek
- ↑ http://www.wbabin.net/eeuro/vankov.pdf Archiválva 2011. július 24-i dátummal a Wayback Machine-ben – Einstein eredeti cikke és angol fordítása, valamint Schwarzschild levele Einsteinhez.
- ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/schwarzschild.pdf – On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild – arXiv:physics/9905030 v1 (text of the original paper, in Wikisource)
- ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/index.html – The Black Hole, the Big Bang, and Modern Physics
- ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/hilbert.pdf – DAVID HILBERT AND THE ORIGIN OF THE “SCHWARZSCHILD SOLUTION” – arXiv:physics/0310104 v1
- ↑ Landau 1975.
- ↑ Ehlers, J. (1997). „Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes”. Classical and Quantum Gravity 14, A119–A126. o. DOI:10.1088/0264-9381/14/1A/010.
- ↑ a b A. S. Eddington, "The Mathematical Theory of Relativity", 2nd edition 1924 (Cambridge University press), at sec. 43, p.93.
- ↑ H. A. Buchdahl, "Isotropic coordinates and Schwarzschild metric", International Journal of Theoretical Physics, Vol.24 (1985) pp. 731–739.
- ↑ Kerr, Roy P. (1963). "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics". Physical Review Letters 11 (5): 237–238. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
Irodalom
- Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
- az eredeti cikk szkennelve
- az eredeti cikk a Wikisource-on
- Antoci és Loinger angol fordítása
- commentárok
- Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
- Flamm, L (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift 17, 448–?. o.
- Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (Second Edition), (1975) McGraw-Hill New York; ISBN 0-07-000423-4. 6. fejezet.
- Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. 12. fejezet.
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 31-32. fejezet.
- Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, (1972) John Wiley & Sons, New York; ISBN 0-471-92567-5. 8. fejezet.