Skálaparaméter

A skálaparaméter a valószínűségi eloszlások egy speciális numerikus paramétere, a valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén.

Minél nagyobb a skálaparaméter, annál terjedelmesebb, szétszórtabb az eloszlás.

Ha a valószínűségi eloszlásoknál van egy s paraméter (és más paraméter θ), melyekre a kumulatív eloszlásfüggvény kielégíti az alábbiakat:

${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}$

akkor s–t skálaparaméternek hívják, mivel ez az érték határozza meg a valószínűségi eloszlás szétszórtságát, skáláját (arányait).

Ha s nagy, akkor az eloszlás terjedelmes, szétszórt lesz, ha s kis értékű, akkor az eloszlás koncentráltabb.

Ha a valószínűség-sűrűség létezik az összes paraméter értékre, akkor a sűrűség (csak mint a skálaparaméter függvénye) kielégíti:

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

függvényt, ahol f a sűrűség standardizált változatának a jele.

${\displaystyle f_{s}}$-et felírhatjuk ${\displaystyle g(x)=x/s}$ kifejezéssel is, a következőképpen:

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)\times 1/s=f(g(x))\times g'(x).\!}$

Mivel f a valószínűség sűrűség függvény:

${\displaystyle 1=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.\!}$

A behelyettesítési szabály alkalmazásával:

${\displaystyle 1=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(g(x))\times g'(x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.\!}$

Így ${\displaystyle f_{s}}$ szintén helyesen normalizált lett.

Néhány eloszlás használja az úgynevezett arányparamétert, mely egyszerűen a skálaparaméter reciproka.

Így például az exponenciális eloszlás β skálaparaméterrel és valószínűség sűrűséggel

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

leírható a λ arányparaméterrel is:

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

• A normális eloszlásnak két paramétere van: a helyparaméter ${\displaystyle \mu }$ és a skálaparaméter ${\displaystyle \sigma }$.

Praktikus okokból a normális eloszlást gyakran jellemzik a skálaparaméter négyzetével, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, mely megfelel az eloszlás szórásnégyzetének.

• A gamma-eloszlást rendszerint ${\displaystyle \theta }$ skálaparaméterrel jellemzik, vagy annak inverzével.
• Például, ha a helyparaméter és a skálaparaméter is egyenlő zérussal, akkor a normális eloszlás standard normális eloszlásként ismert, és a Cauchy-eloszlás is, mint standard Cauchy-eloszlás.

• Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

• Normális eloszlás
• Gamma-eloszlás
• Cauchy-eloszlás
• Helyparaméter
• Exponenciális eloszlás
• Valószínűségszámítás
• Statisztika