![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/19px-Disambig.svg.png) | A „szórás” lehetséges további jelentéseiről lásd: Szórás (egyértelműsítő lap). |
A szórás a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző szóródási mérőszám. A szórás egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke.
Az
valószínűségi változó szórását az
képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol
a várható értéket jelöli.
Az
valószínűségi változó szórásának jelölésére a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek:
A szórás négyzetét olyan gyakran használják a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy variancia is szoktak rá utalni.
Az
valószínűségi változó szórásnégyzete az
második centrális momentuma.
A szórás néhány fontosabb tulajdonsága
- Az
valószínűségi változónak pontosan akkor létezik szórása, ha
-nek létezik várható értéke, s ebben az esetben
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X)&={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {V} (X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}-2X\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X))}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} (X)\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} ^{2}(X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2561d711f929bb0aaf8ecb81e137e1f50d7b52f)
- Tetszőleges
esetén
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (aX)&={\sqrt {\mathbf {V} (aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((aX)^{2}\right)-\mathbf {E} ^{2}(aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} (a^{2}X^{2})-\left(\mathbf {E} (aX)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-\left(a\mathbf {E} (X)\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-a^{2}\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {a^{2}\left(\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)\right)}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {V} (X)}}=\\&=\vert a\vert \mathbf {D} (X),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76764267b9f46d1ecea4c4a089f8b6bc372cb67a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X+b)&={\sqrt {\mathbf {V} (X+b)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((X+b)^{2}\right)-\left(\mathbf {E} (X+b)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}+2bX+b^{2})-\left(\mathbf {E} (X)+b\right)^{2}}}={\sqrt {\left(\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)-\left(\mathbf {E} ^{2}(X)+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}-\mathbf {E} ^{2}(X)-2b\mathbf {E} (X)-b^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&=\mathbf {D} (X).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b1833017bd0c3c25b5b1623e9d13dde277d34e)
- Az
valószínűségi változó szórása pontosan akkor 0, ha
konstans, azaz
.
- Ha
és
véges szórású korrelálatlan valószínűségi változók, azaz
, akkor
![{\displaystyle \mathbf {D} (X+Y)={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)+\mathbf {D} ^{2}(Y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c036db50830df7ad4aa45db76f519d83a339ef97)
Azt látjuk tehát, hogy (korrelálatlan, véges szórású valószínűségi változók esetén) nem a szórás, hanem a szórásnégyzet viselkedik lineárisan.
Kapcsolódó témák
- Statisztikai szignifikancia
Források
- Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd, Szász Domokos (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény Typotex Kiadó, Budapest.
- Baran Sándor, Fazekas István, Glevitzky Béla, Iglói Endre, Ispány Márton, Kalmár István, Nagy Márta, Tar László, Verdes Emese (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
- Medgyessy Pál – Takács Lajos (1973): Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest.
- Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis Typotex Kiadó, Budapest.